tero.co.uk

Several Tensor Equations Shown In Full

This page is part of my series of articles on general relativity. It shows several tensors fully expanded: Gamma and the Riemann, Ricci and Einstein tensors. I wrote a script in PHP to compute all these. Contact me if you'd like a copy of the code.

Please note: you'll need a modern HTML5 browser to see the graphs on this page. They are done using SVG. And you'll need Javascript enabled to see the equations which are written in Tex and rendered using MathJax and may take a few seconds to run. This page also has some graphs created using Octave, an open-source mathematical programming package. Click here to see the commands.

Gamma

The Greek letter Gamma \(\Gamma\) is used to label the Christoffel symbols in equations. Gamma is used to fix ordinary tensor differentiation and in the computation of the Reimman tensor. The Christoffel symbols of the first kind are computed from the metric tensor g like this:

\(\Gamma_{cab} = \frac12 (\partial_a g_{bc} + \partial_b g_{ac} - \partial_c g_{ab}) \)

\(\Gamma\) contains 4x4x4 = 64 entries, all shown in the table below. The table illustrates how the symmetry within the metric tensor g carries through to \(\Gamma\), because the last two indices a and b are interchangeable. There are only 4x10 = 40 independent entries:

cabTypeΓcab
000Γ000 = ½ ∂0g00
001Γ001 = ½ ∂1g00
002Γ002 = ½ ∂2g00
003Γ003 = ½ ∂3g00
010sameΓ010 = Γ001
011Γ011 = - ½ ∂0g11 + ∂1g01
012Γ012 = - ½ ∂0g12 + ½ ∂1g02 + ½ ∂2g01
013Γ013 = - ½ ∂0g13 + ½ ∂1g03 + ½ ∂3g01
020sameΓ020 = Γ002
021sameΓ021 = Γ012
022Γ022 = - ½ ∂0g22 + ∂2g02
023Γ023 = - ½ ∂0g23 + ½ ∂2g03 + ½ ∂3g02
030sameΓ030 = Γ003
031sameΓ031 = Γ013
032sameΓ032 = Γ023
033Γ033 = - ½ ∂0g33 + ∂3g03
100Γ100 = ∂0g01 - ½ ∂1g00
101Γ101 = ½ ∂0g11
102Γ102 = ½ ∂0g12 - ½ ∂1g02 + ½ ∂2g01
103Γ103 = ½ ∂0g13 - ½ ∂1g03 + ½ ∂3g01
110sameΓ110 = Γ101
111Γ111 = ½ ∂1g11
112Γ112 = ½ ∂2g11
113Γ113 = ½ ∂3g11
120sameΓ120 = Γ102
121sameΓ121 = Γ112
122Γ122 = - ½ ∂1g22 + ∂2g12
123Γ123 = - ½ ∂1g23 + ½ ∂2g13 + ½ ∂3g12
130sameΓ130 = Γ103
131sameΓ131 = Γ113
132sameΓ132 = Γ123
133Γ133 = - ½ ∂1g33 + ∂3g13
200Γ200 = ∂0g02 - ½ ∂2g00
201Γ201 = ½ ∂0g12 + ½ ∂1g02 - ½ ∂2g01
202Γ202 = ½ ∂0g22
203Γ203 = ½ ∂0g23 - ½ ∂2g03 + ½ ∂3g02
210sameΓ210 = Γ201
211Γ211 = ∂1g12 - ½ ∂2g11
212Γ212 = ½ ∂1g22
213Γ213 = ½ ∂1g23 - ½ ∂2g13 + ½ ∂3g12
220sameΓ220 = Γ202
221sameΓ221 = Γ212
222Γ222 = ½ ∂2g22
223Γ223 = ½ ∂3g22
230sameΓ230 = Γ203
231sameΓ231 = Γ213
232sameΓ232 = Γ223
233Γ233 = - ½ ∂2g33 + ∂3g23
300Γ300 = ∂0g03 - ½ ∂3g00
301Γ301 = ½ ∂0g13 + ½ ∂1g03 - ½ ∂3g01
302Γ302 = ½ ∂0g23 + ½ ∂2g03 - ½ ∂3g02
303Γ303 = ½ ∂0g33
310sameΓ310 = Γ301
311Γ311 = ∂1g13 - ½ ∂3g11
312Γ312 = ½ ∂1g23 + ½ ∂2g13 - ½ ∂3g12
313Γ313 = ½ ∂1g33
320sameΓ320 = Γ302
321sameΓ321 = Γ312
322Γ322 = ∂2g23 - ½ ∂3g22
323Γ323 = ½ ∂2g33
330sameΓ330 = Γ303
331sameΓ331 = Γ313
332sameΓ332 = Γ323
333Γ333 = ½ ∂3g33
64 entries - 24 same = 40 independent terms

The table for the Christoffel symbols of the second kind is much wider. It also has only 40 independent entries, but each one has 4 times as many terms.

Riemann Tensor

The Riemann tensor is based on Gamma and describes the curvature of space-time. It has 4x4x4x4 terms. It is formed like this:

\(R^a_{bcd} = \partial_c \Gamma^a_{bd} - \partial_d \Gamma^a_{bc} + \Gamma^e_{bd} \Gamma^a_{ec} - \Gamma^e_{bc} \Gamma^a_{ed}\)

To see the symmetries however, you need to lower the a index and use a locally inertial frame (LIF) so that all the first derivatives of the metric tensor are zero. Then there are only 20 independent entries.

abcdTypeRabcd
0000zeroR0000 = 0
0001zeroR0001 = 0
0002zeroR0002 = 0
0003zeroR0003 = 0
0010zeroR0010 = 0
0011zeroR0011 = 0
0012zeroR0012 = 0
0013zeroR0013 = 0
0020zeroR0020 = 0
0021zeroR0021 = 0
0022zeroR0022 = 0
0023zeroR0023 = 0
0030zeroR0030 = 0
0031zeroR0031 = 0
0032zeroR0032 = 0
0033zeroR0033 = 0
0100zeroR0100 = 0
0101R0101 = - ½ ∂00g11 + ∂01g01 - ½ ∂11g00
0102R0102 = - ½ ∂00g12 + ½ ∂01g02 + ½ ∂02g01 - ½ ∂12g00
0103R0103 = - ½ ∂00g13 + ½ ∂01g03 + ½ ∂03g01 - ½ ∂13g00
0110negR0110 = -R0101
0111zeroR0111 = 0
0112R0112 = - ½ ∂01g12 + ½ ∂02g11 + ½ ∂11g02 - ½ ∂12g01
0113R0113 = - ½ ∂01g13 + ½ ∂03g11 + ½ ∂11g03 - ½ ∂13g01
0120negR0120 = -R0102
0121negR0121 = -R0112
0122zeroR0122 = 0
0123R0123 = - ½ ∂02g13 + ½ ∂03g12 + ½ ∂12g03 - ½ ∂13g02
0130negR0130 = -R0103
0131negR0131 = -R0113
0132negR0132 = -R0123
0133zeroR0133 = 0
0200zeroR0200 = 0
0201sameR0201 = R0102
0202R0202 = - ½ ∂00g22 + ∂02g02 - ½ ∂22g00
0203R0203 = - ½ ∂00g23 + ½ ∂02g03 + ½ ∂03g02 - ½ ∂23g00
0210negR0210 = -R0102
0211zeroR0211 = 0
0212R0212 = - ½ ∂01g22 + ½ ∂02g12 + ½ ∂12g02 - ½ ∂22g01
0213R0213 = - ½ ∂01g23 + ½ ∂03g12 + ½ ∂12g03 - ½ ∂23g01
0220negR0220 = -R0202
0221negR0221 = -R0212
0222zeroR0222 = 0
0223R0223 = - ½ ∂02g23 + ½ ∂03g22 + ½ ∂22g03 - ½ ∂23g02
0230negR0230 = -R0203
0231negR0231 = -R0213
0232negR0232 = -R0223
0233zeroR0233 = 0
0300zeroR0300 = 0
0301sameR0301 = R0103
0302sameR0302 = R0203
0303R0303 = - ½ ∂00g33 + ∂03g03 - ½ ∂33g00
0310negR0310 = -R0103
0311zeroR0311 = 0
0312addR0312 = R0213 + R0123
0313R0313 = - ½ ∂01g33 + ½ ∂03g13 + ½ ∂13g03 - ½ ∂33g01
0320negR0320 = -R0203
0321negR0321 = -R0312
0322zeroR0322 = 0
0323R0323 = - ½ ∂02g33 + ½ ∂03g23 + ½ ∂23g03 - ½ ∂33g02
0330negR0330 = -R0303
0331negR0331 = -R0313
0332negR0332 = -R0323
0333zeroR0333 = 0
1000zeroR1000 = 0
1001negR1001 = -R0101
1002negR1002 = -R0102
1003negR1003 = -R0103
1010sameR1010 = R0101
1011zeroR1011 = 0
1012negR1012 = -R0112
1013negR1013 = -R0113
1020sameR1020 = R0102
1021sameR1021 = R0112
1022zeroR1022 = 0
1023negR1023 = -R0123
1030sameR1030 = R0103
1031sameR1031 = R0113
1032sameR1032 = R0123
1033zeroR1033 = 0
1100zeroR1100 = 0
1101zeroR1101 = 0
1102zeroR1102 = 0
1103zeroR1103 = 0
1110zeroR1110 = 0
1111zeroR1111 = 0
1112zeroR1112 = 0
1113zeroR1113 = 0
1120zeroR1120 = 0
1121zeroR1121 = 0
1122zeroR1122 = 0
1123zeroR1123 = 0
1130zeroR1130 = 0
1131zeroR1131 = 0
1132zeroR1132 = 0
1133zeroR1133 = 0
1200zeroR1200 = 0
1201sameR1201 = R0112
1202sameR1202 = R0212
1203sameR1203 = R0312
1210negR1210 = -R0112
1211zeroR1211 = 0
1212R1212 = - ½ ∂11g22 + ∂12g12 - ½ ∂22g11
1213R1213 = - ½ ∂11g23 + ½ ∂12g13 + ½ ∂13g12 - ½ ∂23g11
1220negR1220 = -R0212
1221negR1221 = -R1212
1222zeroR1222 = 0
1223R1223 = - ½ ∂12g23 + ½ ∂13g22 + ½ ∂22g13 - ½ ∂23g12
1230negR1230 = -R0312
1231negR1231 = -R1213
1232negR1232 = -R1223
1233zeroR1233 = 0
1300zeroR1300 = 0
1301sameR1301 = R0113
1302sameR1302 = R0213
1303sameR1303 = R0313
1310negR1310 = -R0113
1311zeroR1311 = 0
1312sameR1312 = R1213
1313R1313 = - ½ ∂11g33 + ∂13g13 - ½ ∂33g11
1320negR1320 = -R0213
1321negR1321 = -R1213
1322zeroR1322 = 0
1323R1323 = - ½ ∂12g33 + ½ ∂13g23 + ½ ∂23g13 - ½ ∂33g12
1330negR1330 = -R0313
1331negR1331 = -R1313
1332negR1332 = -R1323
1333zeroR1333 = 0
2000zeroR2000 = 0
2001negR2001 = -R0102
2002negR2002 = -R0202
2003negR2003 = -R0203
2010sameR2010 = R0102
2011zeroR2011 = 0
2012negR2012 = -R0212
2013negR2013 = -R0213
2020sameR2020 = R0202
2021sameR2021 = R0212
2022zeroR2022 = 0
2023negR2023 = -R0223
2030sameR2030 = R0203
2031sameR2031 = R0213
2032sameR2032 = R0223
2033zeroR2033 = 0
2100zeroR2100 = 0
2101negR2101 = -R0112
2102negR2102 = -R0212
2103negR2103 = -R0312
2110sameR2110 = R0112
2111zeroR2111 = 0
2112negR2112 = -R1212
2113negR2113 = -R1213
2120sameR2120 = R0212
2121sameR2121 = R1212
2122zeroR2122 = 0
2123negR2123 = -R1223
2130sameR2130 = R0312
2131sameR2131 = R1213
2132sameR2132 = R1223
2133zeroR2133 = 0
2200zeroR2200 = 0
2201zeroR2201 = 0
2202zeroR2202 = 0
2203zeroR2203 = 0
2210zeroR2210 = 0
2211zeroR2211 = 0
2212zeroR2212 = 0
2213zeroR2213 = 0
2220zeroR2220 = 0
2221zeroR2221 = 0
2222zeroR2222 = 0
2223zeroR2223 = 0
2230zeroR2230 = 0
2231zeroR2231 = 0
2232zeroR2232 = 0
2233zeroR2233 = 0
2300zeroR2300 = 0
2301sameR2301 = R0123
2302sameR2302 = R0223
2303sameR2303 = R0323
2310negR2310 = -R0123
2311zeroR2311 = 0
2312sameR2312 = R1223
2313sameR2313 = R1323
2320negR2320 = -R0223
2321negR2321 = -R1223
2322zeroR2322 = 0
2323R2323 = - ½ ∂22g33 + ∂23g23 - ½ ∂33g22
2330negR2330 = -R0323
2331negR2331 = -R1323
2332negR2332 = -R2323
2333zeroR2333 = 0
3000zeroR3000 = 0
3001negR3001 = -R0103
3002negR3002 = -R0203
3003negR3003 = -R0303
3010sameR3010 = R0103
3011zeroR3011 = 0
3012negR3012 = -R0312
3013negR3013 = -R0313
3020sameR3020 = R0203
3021sameR3021 = R0312
3022zeroR3022 = 0
3023negR3023 = -R0323
3030sameR3030 = R0303
3031sameR3031 = R0313
3032sameR3032 = R0323
3033zeroR3033 = 0
3100zeroR3100 = 0
3101negR3101 = -R0113
3102negR3102 = -R0213
3103negR3103 = -R0313
3110sameR3110 = R0113
3111zeroR3111 = 0
3112negR3112 = -R1213
3113negR3113 = -R1313
3120sameR3120 = R0213
3121sameR3121 = R1213
3122zeroR3122 = 0
3123negR3123 = -R1323
3130sameR3130 = R0313
3131sameR3131 = R1313
3132sameR3132 = R1323
3133zeroR3133 = 0
3200zeroR3200 = 0
3201negR3201 = -R0123
3202negR3202 = -R0223
3203negR3203 = -R0323
3210sameR3210 = R0123
3211zeroR3211 = 0
3212negR3212 = -R1223
3213negR3213 = -R1323
3220sameR3220 = R0223
3221sameR3221 = R1223
3222zeroR3222 = 0
3223negR3223 = -R2323
3230sameR3230 = R0323
3231sameR3231 = R1323
3232sameR3232 = R2323
3233zeroR3233 = 0
3300zeroR3300 = 0
3301zeroR3301 = 0
3302zeroR3302 = 0
3303zeroR3303 = 0
3310zeroR3310 = 0
3311zeroR3311 = 0
3312zeroR3312 = 0
3313zeroR3313 = 0
3320zeroR3320 = 0
3321zeroR3321 = 0
3322zeroR3322 = 0
3323zeroR3323 = 0
3330zeroR3330 = 0
3331zeroR3331 = 0
3332zeroR3332 = 0
3333zeroR3333 = 0
256 entries - 51 same - 72 negatives (skew) - 112 zeros - 1 additions = 20 independent terms

Ricci Tensor

The Ricci tensor is formed by contracting two of the indices in the Riemann tensor:

\(R_{bd} = R^{a}_{bad} \)

It is symmetric. This is the full Ricci tensor in a locally inertial frame (LIF):

bdTypeRbd
00R00 = - ½ g11 ∂00g11 + g11 ∂01g01 - ½ g11 ∂11g00 - g12 ∂00g12 + g12 ∂01g02 + g12 ∂02g01 - g12 ∂12g00 - g13 ∂00g13 + g13 ∂01g03 + g13 ∂03g01 - g13 ∂13g00 - ½ g22 ∂00g22 + g22 ∂02g02 - ½ g22 ∂22g00 - g23 ∂00g23 + g23 ∂02g03 + g23 ∂03g02 - g23 ∂23g00 - ½ g33 ∂00g33 + g33 ∂03g03 - ½ g33 ∂33g00
01R01 = ½ g01 ∂00g11 - g01 ∂01g01 + ½ g01 ∂11g00 + ½ g02 ∂00g12 - ½ g02 ∂01g02 - ½ g02 ∂02g01 + ½ g02 ∂12g00 + ½ g03 ∂00g13 - ½ g03 ∂01g03 - ½ g03 ∂03g01 + ½ g03 ∂13g00 - ½ g12 ∂01g12 + ½ g12 ∂02g11 + ½ g12 ∂11g02 - ½ g12 ∂12g01 - ½ g13 ∂01g13 + ½ g13 ∂03g11 + ½ g13 ∂11g03 - ½ g13 ∂13g01 - ½ g22 ∂01g22 + ½ g22 ∂02g12 + ½ g22 ∂12g02 - ½ g22 ∂22g01 - g23 ∂01g23 + ½ g23 ∂02g13 + ½ g23 ∂03g12 + ½ g23 ∂12g03 + ½ g23 ∂13g02 - g23 ∂23g01 - ½ g33 ∂01g33 + ½ g33 ∂03g13 + ½ g33 ∂13g03 - ½ g33 ∂33g01
02R02 = ½ g01 ∂00g12 - ½ g01 ∂01g02 - ½ g01 ∂02g01 + ½ g01 ∂12g00 + ½ g02 ∂00g22 - g02 ∂02g02 + ½ g02 ∂22g00 + ½ g03 ∂00g23 - ½ g03 ∂02g03 - ½ g03 ∂03g02 + ½ g03 ∂23g00 + ½ g11 ∂01g12 - ½ g11 ∂02g11 - ½ g11 ∂11g02 + ½ g11 ∂12g01 + ½ g12 ∂01g22 - ½ g12 ∂02g12 - ½ g12 ∂12g02 + ½ g12 ∂22g01 + ½ g13 ∂01g23 - g13 ∂02g13 + ½ g13 ∂03g12 + ½ g13 ∂12g03 - g13 ∂13g02 + ½ g13 ∂23g01 - ½ g23 ∂02g23 + ½ g23 ∂03g22 + ½ g23 ∂22g03 - ½ g23 ∂23g02 - ½ g33 ∂02g33 + ½ g33 ∂03g23 + ½ g33 ∂23g03 - ½ g33 ∂33g02
03R03 = ½ g01 ∂00g13 - ½ g01 ∂01g03 - ½ g01 ∂03g01 + ½ g01 ∂13g00 + ½ g02 ∂00g23 - ½ g02 ∂02g03 - ½ g02 ∂03g02 + ½ g02 ∂23g00 + ½ g03 ∂00g33 - g03 ∂03g03 + ½ g03 ∂33g00 + ½ g11 ∂01g13 - ½ g11 ∂03g11 - ½ g11 ∂11g03 + ½ g11 ∂13g01 + ½ g12 ∂01g23 + ½ g12 ∂02g13 - g12 ∂03g12 - g12 ∂12g03 + ½ g12 ∂13g02 + ½ g12 ∂23g01 + ½ g13 ∂01g33 - ½ g13 ∂03g13 - ½ g13 ∂13g03 + ½ g13 ∂33g01 + ½ g22 ∂02g23 - ½ g22 ∂03g22 - ½ g22 ∂22g03 + ½ g22 ∂23g02 + ½ g23 ∂02g33 - ½ g23 ∂03g23 - ½ g23 ∂23g03 + ½ g23 ∂33g02
10sameR10 = R01
11R11 = - ½ g00 ∂00g11 + g00 ∂01g01 - ½ g00 ∂11g00 + g02 ∂01g12 - g02 ∂02g11 - g02 ∂11g02 + g02 ∂12g01 + g03 ∂01g13 - g03 ∂03g11 - g03 ∂11g03 + g03 ∂13g01 - ½ g22 ∂11g22 + g22 ∂12g12 - ½ g22 ∂22g11 - g23 ∂11g23 + g23 ∂12g13 + g23 ∂13g12 - g23 ∂23g11 - ½ g33 ∂11g33 + g33 ∂13g13 - ½ g33 ∂33g11
12R12 = - ½ g00 ∂00g12 + ½ g00 ∂01g02 + ½ g00 ∂02g01 - ½ g00 ∂12g00 - ½ g01 ∂01g12 + ½ g01 ∂02g11 + ½ g01 ∂11g02 - ½ g01 ∂12g01 + ½ g02 ∂01g22 - ½ g02 ∂02g12 - ½ g02 ∂12g02 + ½ g02 ∂22g01 + ½ g03 ∂01g23 + ½ g03 ∂02g13 - g03 ∂03g12 - g03 ∂12g03 + ½ g03 ∂13g02 + ½ g03 ∂23g01 + ½ g12 ∂11g22 - g12 ∂12g12 + ½ g12 ∂22g11 + ½ g13 ∂11g23 - ½ g13 ∂12g13 - ½ g13 ∂13g12 + ½ g13 ∂23g11 - ½ g23 ∂12g23 + ½ g23 ∂13g22 + ½ g23 ∂22g13 - ½ g23 ∂23g12 - ½ g33 ∂12g33 + ½ g33 ∂13g23 + ½ g33 ∂23g13 - ½ g33 ∂33g12
13R13 = - ½ g00 ∂00g13 + ½ g00 ∂01g03 + ½ g00 ∂03g01 - ½ g00 ∂13g00 - ½ g01 ∂01g13 + ½ g01 ∂03g11 + ½ g01 ∂11g03 - ½ g01 ∂13g01 + ½ g02 ∂01g23 - g02 ∂02g13 + ½ g02 ∂03g12 + ½ g02 ∂12g03 - g02 ∂13g02 + ½ g02 ∂23g01 + ½ g03 ∂01g33 - ½ g03 ∂03g13 - ½ g03 ∂13g03 + ½ g03 ∂33g01 + ½ g12 ∂11g23 - ½ g12 ∂12g13 - ½ g12 ∂13g12 + ½ g12 ∂23g11 + ½ g13 ∂11g33 - g13 ∂13g13 + ½ g13 ∂33g11 + ½ g22 ∂12g23 - ½ g22 ∂13g22 - ½ g22 ∂22g13 + ½ g22 ∂23g12 + ½ g23 ∂12g33 - ½ g23 ∂13g23 - ½ g23 ∂23g13 + ½ g23 ∂33g12
20sameR20 = R02
21sameR21 = R12
22R22 = - ½ g00 ∂00g22 + g00 ∂02g02 - ½ g00 ∂22g00 - g01 ∂01g22 + g01 ∂02g12 + g01 ∂12g02 - g01 ∂22g01 + g03 ∂02g23 - g03 ∂03g22 - g03 ∂22g03 + g03 ∂23g02 - ½ g11 ∂11g22 + g11 ∂12g12 - ½ g11 ∂22g11 + g13 ∂12g23 - g13 ∂13g22 - g13 ∂22g13 + g13 ∂23g12 - ½ g33 ∂22g33 + g33 ∂23g23 - ½ g33 ∂33g22
23R23 = - ½ g00 ∂00g23 + ½ g00 ∂02g03 + ½ g00 ∂03g02 - ½ g00 ∂23g00 - g01 ∂01g23 + ½ g01 ∂02g13 + ½ g01 ∂03g12 + ½ g01 ∂12g03 + ½ g01 ∂13g02 - g01 ∂23g01 - ½ g02 ∂02g23 + ½ g02 ∂03g22 + ½ g02 ∂22g03 - ½ g02 ∂23g02 + ½ g03 ∂02g33 - ½ g03 ∂03g23 - ½ g03 ∂23g03 + ½ g03 ∂33g02 - ½ g11 ∂11g23 + ½ g11 ∂12g13 + ½ g11 ∂13g12 - ½ g11 ∂23g11 - ½ g12 ∂12g23 + ½ g12 ∂13g22 + ½ g12 ∂22g13 - ½ g12 ∂23g12 + ½ g13 ∂12g33 - ½ g13 ∂13g23 - ½ g13 ∂23g13 + ½ g13 ∂33g12 + ½ g23 ∂22g33 - g23 ∂23g23 + ½ g23 ∂33g22
30sameR30 = R03
31sameR31 = R13
32sameR32 = R23
33R33 = - ½ g00 ∂00g33 + g00 ∂03g03 - ½ g00 ∂33g00 - g01 ∂01g33 + g01 ∂03g13 + g01 ∂13g03 - g01 ∂33g01 - g02 ∂02g33 + g02 ∂03g23 + g02 ∂23g03 - g02 ∂33g02 - ½ g11 ∂11g33 + g11 ∂13g13 - ½ g11 ∂33g11 - g12 ∂12g33 + g12 ∂13g23 + g12 ∂23g13 - g12 ∂33g12 - ½ g22 ∂22g33 + g22 ∂23g23 - ½ g22 ∂33g22
16 entries - 6 same = 10 independent terms

And for comparison, here is the first entry in a non LIF, which includes the first derivatives of the metric tensor g:

R00 = ¼ g00 g11 ∂0g00 ∂0g11 - ½ g00 g11 ∂0g01 ∂1g00 + ¼ g00 g11 ∂1g00 ∂1g00 + ½ g00 g12 ∂0g00 ∂0g12 - ½ g00 g12 ∂0g01 ∂2g00 - ½ g00 g12 ∂0g02 ∂1g00 + ½ g00 g12 ∂1g00 ∂2g00 + ½ g00 g13 ∂0g00 ∂0g13 - ½ g00 g13 ∂0g01 ∂3g00 - ½ g00 g13 ∂0g03 ∂1g00 + ½ g00 g13 ∂1g00 ∂3g00 + ¼ g00 g22 ∂0g00 ∂0g22 - ½ g00 g22 ∂0g02 ∂2g00 + ¼ g00 g22 ∂2g00 ∂2g00 + ½ g00 g23 ∂0g00 ∂0g23 - ½ g00 g23 ∂0g02 ∂3g00 - ½ g00 g23 ∂0g03 ∂2g00 + ½ g00 g23 ∂2g00 ∂3g00 + ¼ g00 g33 ∂0g00 ∂0g33 - ½ g00 g33 ∂0g03 ∂3g00 + ¼ g00 g33 ∂3g00 ∂3g00 - ½ g01 g01 ∂0g00 ∂0g11 + ½ g01 g01 ∂0g00 ∂1g01 + ½ g01 g01 ∂0g01 ∂1g00 - ½ g01 g01 ∂1g00 ∂1g00 - g01 g02 ∂0g00 ∂0g12 + ½ g01 g02 ∂0g00 ∂1g02 + ½ g01 g02 ∂0g00 ∂2g01 + ½ g01 g02 ∂0g01 ∂2g00 + ½ g01 g02 ∂0g02 ∂1g00 - g01 g02 ∂1g00 ∂2g00 - g01 g03 ∂0g00 ∂0g13 + ½ g01 g03 ∂0g00 ∂1g03 + ½ g01 g03 ∂0g00 ∂3g01 + ½ g01 g03 ∂0g01 ∂3g00 + ½ g01 g03 ∂0g03 ∂1g00 - g01 g03 ∂1g00 ∂3g00 + ¼ g01 g11 ∂0g00 ∂1g11 - ½ g01 g11 ∂0g01 ∂0g11 + g01 g11 ∂0g01 ∂1g01 - ¼ g01 g11 ∂0g11 ∂1g00 - ½ g01 g11 ∂1g00 ∂1g01 + ½ g01 g12 ∂0g00 ∂1g12 + g01 g12 ∂0g01 ∂1g02 - g01 g12 ∂0g02 ∂0g11 + g01 g12 ∂0g02 ∂1g01 - ½ g01 g12 ∂0g12 ∂1g00 - g01 g12 ∂1g00 ∂1g02 + ½ g01 g12 ∂1g00 ∂2g01 - ½ g01 g12 ∂1g01 ∂2g00 + ½ g01 g13 ∂0g00 ∂1g13 + g01 g13 ∂0g01 ∂1g03 - g01 g13 ∂0g03 ∂0g11 + g01 g13 ∂0g03 ∂1g01 - ½ g01 g13 ∂0g13 ∂1g00 - g01 g13 ∂1g00 ∂1g03 + ½ g01 g13 ∂1g00 ∂3g01 - ½ g01 g13 ∂1g01 ∂3g00 + ¼ g01 g22 ∂0g00 ∂1g22 + ½ g01 g22 ∂0g01 ∂0g22 - g01 g22 ∂0g02 ∂0g12 + g01 g22 ∂0g02 ∂1g02 - ¼ g01 g22 ∂0g22 ∂1g00 - g01 g22 ∂1g02 ∂2g00 + ½ g01 g22 ∂2g00 ∂2g01 + ½ g01 g23 ∂0g00 ∂1g23 + g01 g23 ∂0g01 ∂0g23 - g01 g23 ∂0g02 ∂0g13 + g01 g23 ∂0g02 ∂1g03 - g01 g23 ∂0g03 ∂0g12 + g01 g23 ∂0g03 ∂1g02 - ½ g01 g23 ∂0g23 ∂1g00 - g01 g23 ∂1g02 ∂3g00 - g01 g23 ∂1g03 ∂2g00 + ½ g01 g23 ∂2g00 ∂3g01 + ½ g01 g23 ∂2g01 ∂3g00 + ¼ g01 g33 ∂0g00 ∂1g33 + ½ g01 g33 ∂0g01 ∂0g33 - g01 g33 ∂0g03 ∂0g13 + g01 g33 ∂0g03 ∂1g03 - ¼ g01 g33 ∂0g33 ∂1g00 - g01 g33 ∂1g03 ∂3g00 + ½ g01 g33 ∂3g00 ∂3g01 - ½ g02 g02 ∂0g00 ∂0g22 + ½ g02 g02 ∂0g00 ∂2g02 + ½ g02 g02 ∂0g02 ∂2g00 - ½ g02 g02 ∂2g00 ∂2g00 - g02 g03 ∂0g00 ∂0g23 + ½ g02 g03 ∂0g00 ∂2g03 + ½ g02 g03 ∂0g00 ∂3g02 + ½ g02 g03 ∂0g02 ∂3g00 + ½ g02 g03 ∂0g03 ∂2g00 - g02 g03 ∂2g00 ∂3g00 + ¼ g02 g11 ∂0g00 ∂2g11 - g02 g11 ∂0g01 ∂0g12 + g02 g11 ∂0g01 ∂2g01 + ½ g02 g11 ∂0g02 ∂0g11 - ¼ g02 g11 ∂0g11 ∂2g00 + ½ g02 g11 ∂1g00 ∂1g02 - g02 g11 ∂1g00 ∂2g01 + ½ g02 g12 ∂0g00 ∂2g12 - g02 g12 ∂0g01 ∂0g22 + g02 g12 ∂0g01 ∂2g02 + g02 g12 ∂0g02 ∂2g01 - ½ g02 g12 ∂0g12 ∂2g00 - ½ g02 g12 ∂1g00 ∂2g02 + ½ g02 g12 ∂1g02 ∂2g00 - g02 g12 ∂2g00 ∂2g01 + ½ g02 g13 ∂0g00 ∂2g13 - g02 g13 ∂0g01 ∂0g23 + g02 g13 ∂0g01 ∂2g03 + g02 g13 ∂0g02 ∂0g13 - g02 g13 ∂0g03 ∂0g12 + g02 g13 ∂0g03 ∂2g01 - ½ g02 g13 ∂0g13 ∂2g00 - g02 g13 ∂1g00 ∂2g03 + ½ g02 g13 ∂1g00 ∂3g02 + ½ g02 g13 ∂1g02 ∂3g00 - g02 g13 ∂2g01 ∂3g00 + ¼ g02 g22 ∂0g00 ∂2g22 - ½ g02 g22 ∂0g02 ∂0g22 + g02 g22 ∂0g02 ∂2g02 - ¼ g02 g22 ∂0g22 ∂2g00 - ½ g02 g22 ∂2g00 ∂2g02 + ½ g02 g23 ∂0g00 ∂2g23 + g02 g23 ∂0g02 ∂2g03 - g02 g23 ∂0g03 ∂0g22 + g02 g23 ∂0g03 ∂2g02 - ½ g02 g23 ∂0g23 ∂2g00 - g02 g23 ∂2g00 ∂2g03 + ½ g02 g23 ∂2g00 ∂3g02 - ½ g02 g23 ∂2g02 ∂3g00 + ¼ g02 g33 ∂0g00 ∂2g33 + ½ g02 g33 ∂0g02 ∂0g33 - g02 g33 ∂0g03 ∂0g23 + g02 g33 ∂0g03 ∂2g03 - ¼ g02 g33 ∂0g33 ∂2g00 - g02 g33 ∂2g03 ∂3g00 + ½ g02 g33 ∂3g00 ∂3g02 - ½ g03 g03 ∂0g00 ∂0g33 + ½ g03 g03 ∂0g00 ∂3g03 + ½ g03 g03 ∂0g03 ∂3g00 - ½ g03 g03 ∂3g00 ∂3g00 + ¼ g03 g11 ∂0g00 ∂3g11 - g03 g11 ∂0g01 ∂0g13 + g03 g11 ∂0g01 ∂3g01 + ½ g03 g11 ∂0g03 ∂0g11 - ¼ g03 g11 ∂0g11 ∂3g00 + ½ g03 g11 ∂1g00 ∂1g03 - g03 g11 ∂1g00 ∂3g01 + ½ g03 g12 ∂0g00 ∂3g12 - g03 g12 ∂0g01 ∂0g23 + g03 g12 ∂0g01 ∂3g02 - g03 g12 ∂0g02 ∂0g13 + g03 g12 ∂0g02 ∂3g01 + g03 g12 ∂0g03 ∂0g12 - ½ g03 g12 ∂0g12 ∂3g00 + ½ g03 g12 ∂1g00 ∂2g03 - g03 g12 ∂1g00 ∂3g02 + ½ g03 g12 ∂1g03 ∂2g00 - g03 g12 ∂2g00 ∂3g01 + ½ g03 g13 ∂0g00 ∂3g13 - g03 g13 ∂0g01 ∂0g33 + g03 g13 ∂0g01 ∂3g03 + g03 g13 ∂0g03 ∂3g01 - ½ g03 g13 ∂0g13 ∂3g00 - ½ g03 g13 ∂1g00 ∂3g03 + ½ g03 g13 ∂1g03 ∂3g00 - g03 g13 ∂3g00 ∂3g01 + ¼ g03 g22 ∂0g00 ∂3g22 - g03 g22 ∂0g02 ∂0g23 + g03 g22 ∂0g02 ∂3g02 + ½ g03 g22 ∂0g03 ∂0g22 - ¼ g03 g22 ∂0g22 ∂3g00 + ½ g03 g22 ∂2g00 ∂2g03 - g03 g22 ∂2g00 ∂3g02 + ½ g03 g23 ∂0g00 ∂3g23 - g03 g23 ∂0g02 ∂0g33 + g03 g23 ∂0g02 ∂3g03 + g03 g23 ∂0g03 ∂3g02 - ½ g03 g23 ∂0g23 ∂3g00 - ½ g03 g23 ∂2g00 ∂3g03 + ½ g03 g23 ∂2g03 ∂3g00 - g03 g23 ∂3g00 ∂3g02 + ¼ g03 g33 ∂0g00 ∂3g33 - ½ g03 g33 ∂0g03 ∂0g33 + g03 g33 ∂0g03 ∂3g03 - ¼ g03 g33 ∂0g33 ∂3g00 - ½ g03 g33 ∂3g00 ∂3g03 + ½ g11 g11 ∂0g01 ∂1g11 - ¼ g11 g11 ∂0g11 ∂0g11 - ¼ g11 g11 ∂1g00 ∂1g11 + g11 g12 ∂0g01 ∂1g12 + ½ g11 g12 ∂0g01 ∂2g11 + ½ g11 g12 ∂0g02 ∂1g11 - g11 g12 ∂0g11 ∂0g12 - ½ g11 g12 ∂1g00 ∂1g12 - ¼ g11 g12 ∂1g00 ∂2g11 - ¼ g11 g12 ∂1g11 ∂2g00 + g11 g13 ∂0g01 ∂1g13 + ½ g11 g13 ∂0g01 ∂3g11 + ½ g11 g13 ∂0g03 ∂1g11 - g11 g13 ∂0g11 ∂0g13 - ½ g11 g13 ∂1g00 ∂1g13 - ¼ g11 g13 ∂1g00 ∂3g11 - ¼ g11 g13 ∂1g11 ∂3g00 + ½ g11 g22 ∂0g01 ∂1g22 + ½ g11 g22 ∂0g02 ∂2g11 - ½ g11 g22 ∂0g12 ∂0g12 - ¼ g11 g22 ∂1g00 ∂1g22 + ½ g11 g22 ∂1g02 ∂1g02 - g11 g22 ∂1g02 ∂2g01 - ¼ g11 g22 ∂2g00 ∂2g11 + ½ g11 g22 ∂2g01 ∂2g01 + g11 g23 ∂0g01 ∂1g23 + ½ g11 g23 ∂0g02 ∂3g11 + ½ g11 g23 ∂0g03 ∂2g11 - g11 g23 ∂0g12 ∂0g13 - ½ g11 g23 ∂1g00 ∂1g23 + g11 g23 ∂1g02 ∂1g03 - g11 g23 ∂1g02 ∂3g01 - g11 g23 ∂1g03 ∂2g01 - ¼ g11 g23 ∂2g00 ∂3g11 + g11 g23 ∂2g01 ∂3g01 - ¼ g11 g23 ∂2g11 ∂3g00 + ½ g11 g33 ∂0g01 ∂1g33 + ½ g11 g33 ∂0g03 ∂3g11 - ½ g11 g33 ∂0g13 ∂0g13 - ¼ g11 g33 ∂1g00 ∂1g33 + ½ g11 g33 ∂1g03 ∂1g03 - g11 g33 ∂1g03 ∂3g01 - ¼ g11 g33 ∂3g00 ∂3g11 + ½ g11 g33 ∂3g01 ∂3g01 - ½ g11 ∂00g11 + g11 ∂01g01 - ½ g11 ∂11g00 + g12 g12 ∂0g01 ∂2g12 + g12 g12 ∂0g02 ∂1g12 - ½ g12 g12 ∂0g11 ∂0g22 - ½ g12 g12 ∂0g12 ∂0g12 - ½ g12 g12 ∂1g00 ∂2g12 - ½ g12 g12 ∂1g02 ∂1g02 + g12 g12 ∂1g02 ∂2g01 - ½ g12 g12 ∂1g12 ∂2g00 - ½ g12 g12 ∂2g01 ∂2g01 + g12 g13 ∂0g01 ∂2g13 + g12 g13 ∂0g01 ∂3g12 + g12 g13 ∂0g02 ∂1g13 + g12 g13 ∂0g03 ∂1g12 - g12 g13 ∂0g11 ∂0g23 - g12 g13 ∂0g12 ∂0g13 - ½ g12 g13 ∂1g00 ∂2g13 - ½ g12 g13 ∂1g00 ∂3g12 - g12 g13 ∂1g02 ∂1g03 + g12 g13 ∂1g02 ∂3g01 + g12 g13 ∂1g03 ∂2g01 - ½ g12 g13 ∂1g12 ∂3g00 - ½ g12 g13 ∂1g13 ∂2g00 - g12 g13 ∂2g01 ∂3g01 + ½ g12 g22 ∂0g01 ∂2g22 + ½ g12 g22 ∂0g02 ∂1g22 + g12 g22 ∂0g02 ∂2g12 - g12 g22 ∂0g12 ∂0g22 - ¼ g12 g22 ∂1g00 ∂2g22 - ¼ g12 g22 ∂1g22 ∂2g00 - ½ g12 g22 ∂2g00 ∂2g12 + g12 g23 ∂0g01 ∂2g23 + g12 g23 ∂0g02 ∂1g23 + g12 g23 ∂0g02 ∂3g12 + g12 g23 ∂0g03 ∂2g12 - g12 g23 ∂0g12 ∂0g23 - g12 g23 ∂0g13 ∂0g22 - ½ g12 g23 ∂1g00 ∂2g23 + g12 g23 ∂1g02 ∂2g03 - g12 g23 ∂1g02 ∂3g02 - ½ g12 g23 ∂1g23 ∂2g00 - ½ g12 g23 ∂2g00 ∂3g12 - g12 g23 ∂2g01 ∂2g03 + g12 g23 ∂2g01 ∂3g02 - ½ g12 g23 ∂2g12 ∂3g00 + ½ g12 g33 ∂0g01 ∂2g33 + ½ g12 g33 ∂0g02 ∂1g33 + g12 g33 ∂0g03 ∂3g12 - g12 g33 ∂0g13 ∂0g23 - ¼ g12 g33 ∂1g00 ∂2g33 + g12 g33 ∂1g03 ∂2g03 - g12 g33 ∂1g03 ∂3g02 - ¼ g12 g33 ∂1g33 ∂2g00 - g12 g33 ∂2g03 ∂3g01 - ½ g12 g33 ∂3g00 ∂3g12 + g12 g33 ∂3g01 ∂3g02 - g12 ∂00g12 + g12 ∂01g02 + g12 ∂02g01 - g12 ∂12g00 + g13 g13 ∂0g01 ∂3g13 + g13 g13 ∂0g03 ∂1g13 - ½ g13 g13 ∂0g11 ∂0g33 - ½ g13 g13 ∂0g13 ∂0g13 - ½ g13 g13 ∂1g00 ∂3g13 - ½ g13 g13 ∂1g03 ∂1g03 + g13 g13 ∂1g03 ∂3g01 - ½ g13 g13 ∂1g13 ∂3g00 - ½ g13 g13 ∂3g01 ∂3g01 + ½ g13 g22 ∂0g01 ∂3g22 + g13 g22 ∂0g02 ∂2g13 + ½ g13 g22 ∂0g03 ∂1g22 - g13 g22 ∂0g12 ∂0g23 - ¼ g13 g22 ∂1g00 ∂3g22 - g13 g22 ∂1g02 ∂2g03 + g13 g22 ∂1g02 ∂3g02 - ¼ g13 g22 ∂1g22 ∂3g00 - ½ g13 g22 ∂2g00 ∂2g13 + g13 g22 ∂2g01 ∂2g03 - g13 g22 ∂2g01 ∂3g02 + g13 g23 ∂0g01 ∂3g23 + g13 g23 ∂0g02 ∂3g13 + g13 g23 ∂0g03 ∂1g23 + g13 g23 ∂0g03 ∂2g13 - g13 g23 ∂0g12 ∂0g33 - g13 g23 ∂0g13 ∂0g23 - ½ g13 g23 ∂1g00 ∂3g23 - g13 g23 ∂1g03 ∂2g03 + g13 g23 ∂1g03 ∂3g02 - ½ g13 g23 ∂1g23 ∂3g00 - ½ g13 g23 ∂2g00 ∂3g13 + g13 g23 ∂2g03 ∂3g01 - ½ g13 g23 ∂2g13 ∂3g00 - g13 g23 ∂3g01 ∂3g02 + ½ g13 g33 ∂0g01 ∂3g33 + ½ g13 g33 ∂0g03 ∂1g33 + g13 g33 ∂0g03 ∂3g13 - g13 g33 ∂0g13 ∂0g33 - ¼ g13 g33 ∂1g00 ∂3g33 - ¼ g13 g33 ∂1g33 ∂3g00 - ½ g13 g33 ∂3g00 ∂3g13 - g13 ∂00g13 + g13 ∂01g03 + g13 ∂03g01 - g13 ∂13g00 + ½ g22 g22 ∂0g02 ∂2g22 - ¼ g22 g22 ∂0g22 ∂0g22 - ¼ g22 g22 ∂2g00 ∂2g22 + g22 g23 ∂0g02 ∂2g23 + ½ g22 g23 ∂0g02 ∂3g22 + ½ g22 g23 ∂0g03 ∂2g22 - g22 g23 ∂0g22 ∂0g23 - ½ g22 g23 ∂2g00 ∂2g23 - ¼ g22 g23 ∂2g00 ∂3g22 - ¼ g22 g23 ∂2g22 ∂3g00 + ½ g22 g33 ∂0g02 ∂2g33 + ½ g22 g33 ∂0g03 ∂3g22 - ½ g22 g33 ∂0g23 ∂0g23 - ¼ g22 g33 ∂2g00 ∂2g33 + ½ g22 g33 ∂2g03 ∂2g03 - g22 g33 ∂2g03 ∂3g02 - ¼ g22 g33 ∂3g00 ∂3g22 + ½ g22 g33 ∂3g02 ∂3g02 - ½ g22 ∂00g22 + g22 ∂02g02 - ½ g22 ∂22g00 + g23 g23 ∂0g02 ∂3g23 + g23 g23 ∂0g03 ∂2g23 - ½ g23 g23 ∂0g22 ∂0g33 - ½ g23 g23 ∂0g23 ∂0g23 - ½ g23 g23 ∂2g00 ∂3g23 - ½ g23 g23 ∂2g03 ∂2g03 + g23 g23 ∂2g03 ∂3g02 - ½ g23 g23 ∂2g23 ∂3g00 - ½ g23 g23 ∂3g02 ∂3g02 + ½ g23 g33 ∂0g02 ∂3g33 + ½ g23 g33 ∂0g03 ∂2g33 + g23 g33 ∂0g03 ∂3g23 - g23 g33 ∂0g23 ∂0g33 - ¼ g23 g33 ∂2g00 ∂3g33 - ¼ g23 g33 ∂2g33 ∂3g00 - ½ g23 g33 ∂3g00 ∂3g23 - g23 ∂00g23 + g23 ∂02g03 + g23 ∂03g02 - g23 ∂23g00 + ½ g33 g33 ∂0g03 ∂3g33 - ¼ g33 g33 ∂0g33 ∂0g33 - ¼ g33 g33 ∂3g00 ∂3g33 - ½ g33 ∂00g33 + g33 ∂03g03 - ½ g33 ∂33g00

Einstein Tensor

The Einstein tensor is formed from the Ricci tensor and the Ricci scalar with this equation:

\(G_{ab} = R_{ab} - \frac12 g_{ab} R \)

Here is the full table for a LIF:

abTypeGab
00G00 = ½ g00 g00 g11 ∂00g11 - g00 g00 g11 ∂01g01 + ½ g00 g00 g11 ∂11g00 + g00 g00 g12 ∂00g12 - g00 g00 g12 ∂01g02 - g00 g00 g12 ∂02g01 + g00 g00 g12 ∂12g00 + g00 g00 g13 ∂00g13 - g00 g00 g13 ∂01g03 - g00 g00 g13 ∂03g01 + g00 g00 g13 ∂13g00 + ½ g00 g00 g22 ∂00g22 - g00 g00 g22 ∂02g02 + ½ g00 g00 g22 ∂22g00 + g00 g00 g23 ∂00g23 - g00 g00 g23 ∂02g03 - g00 g00 g23 ∂03g02 + g00 g00 g23 ∂23g00 + ½ g00 g00 g33 ∂00g33 - g00 g00 g33 ∂03g03 + ½ g00 g00 g33 ∂33g00 - ½ g00 g01 g01 ∂00g11 + g00 g01 g01 ∂01g01 - ½ g00 g01 g01 ∂11g00 - g00 g01 g02 ∂00g12 + g00 g01 g02 ∂01g02 + g00 g01 g02 ∂02g01 - g00 g01 g02 ∂12g00 - g00 g01 g03 ∂00g13 + g00 g01 g03 ∂01g03 + g00 g01 g03 ∂03g01 - g00 g01 g03 ∂13g00 + g00 g01 g12 ∂01g12 - g00 g01 g12 ∂02g11 - g00 g01 g12 ∂11g02 + g00 g01 g12 ∂12g01 + g00 g01 g13 ∂01g13 - g00 g01 g13 ∂03g11 - g00 g01 g13 ∂11g03 + g00 g01 g13 ∂13g01 + g00 g01 g22 ∂01g22 - g00 g01 g22 ∂02g12 - g00 g01 g22 ∂12g02 + g00 g01 g22 ∂22g01 + 2 g00 g01 g23 ∂01g23 - g00 g01 g23 ∂02g13 - g00 g01 g23 ∂03g12 - g00 g01 g23 ∂12g03 - g00 g01 g23 ∂13g02 + 2 g00 g01 g23 ∂23g01 + g00 g01 g33 ∂01g33 - g00 g01 g33 ∂03g13 - g00 g01 g33 ∂13g03 + g00 g01 g33 ∂33g01 - ½ g00 g02 g02 ∂00g22 + g00 g02 g02 ∂02g02 - ½ g00 g02 g02 ∂22g00 - g00 g02 g03 ∂00g23 + g00 g02 g03 ∂02g03 + g00 g02 g03 ∂03g02 - g00 g02 g03 ∂23g00 - g00 g02 g11 ∂01g12 + g00 g02 g11 ∂02g11 + g00 g02 g11 ∂11g02 - g00 g02 g11 ∂12g01 - g00 g02 g12 ∂01g22 + g00 g02 g12 ∂02g12 + g00 g02 g12 ∂12g02 - g00 g02 g12 ∂22g01 - g00 g02 g13 ∂01g23 + 2 g00 g02 g13 ∂02g13 - g00 g02 g13 ∂03g12 - g00 g02 g13 ∂12g03 + 2 g00 g02 g13 ∂13g02 - g00 g02 g13 ∂23g01 + g00 g02 g23 ∂02g23 - g00 g02 g23 ∂03g22 - g00 g02 g23 ∂22g03 + g00 g02 g23 ∂23g02 + g00 g02 g33 ∂02g33 - g00 g02 g33 ∂03g23 - g00 g02 g33 ∂23g03 + g00 g02 g33 ∂33g02 - ½ g00 g03 g03 ∂00g33 + g00 g03 g03 ∂03g03 - ½ g00 g03 g03 ∂33g00 - g00 g03 g11 ∂01g13 + g00 g03 g11 ∂03g11 + g00 g03 g11 ∂11g03 - g00 g03 g11 ∂13g01 - g00 g03 g12 ∂01g23 - g00 g03 g12 ∂02g13 + 2 g00 g03 g12 ∂03g12 + 2 g00 g03 g12 ∂12g03 - g00 g03 g12 ∂13g02 - g00 g03 g12 ∂23g01 - g00 g03 g13 ∂01g33 + g00 g03 g13 ∂03g13 + g00 g03 g13 ∂13g03 - g00 g03 g13 ∂33g01 - g00 g03 g22 ∂02g23 + g00 g03 g22 ∂03g22 + g00 g03 g22 ∂22g03 - g00 g03 g22 ∂23g02 - g00 g03 g23 ∂02g33 + g00 g03 g23 ∂03g23 + g00 g03 g23 ∂23g03 - g00 g03 g23 ∂33g02 + ½ g00 g11 g22 ∂11g22 - g00 g11 g22 ∂12g12 + ½ g00 g11 g22 ∂22g11 + g00 g11 g23 ∂11g23 - g00 g11 g23 ∂12g13 - g00 g11 g23 ∂13g12 + g00 g11 g23 ∂23g11 + ½ g00 g11 g33 ∂11g33 - g00 g11 g33 ∂13g13 + ½ g00 g11 g33 ∂33g11 - ½ g00 g12 g12 ∂11g22 + g00 g12 g12 ∂12g12 - ½ g00 g12 g12 ∂22g11 - g00 g12 g13 ∂11g23 + g00 g12 g13 ∂12g13 + g00 g12 g13 ∂13g12 - g00 g12 g13 ∂23g11 + g00 g12 g23 ∂12g23 - g00 g12 g23 ∂13g22 - g00 g12 g23 ∂22g13 + g00 g12 g23 ∂23g12 + g00 g12 g33 ∂12g33 - g00 g12 g33 ∂13g23 - g00 g12 g33 ∂23g13 + g00 g12 g33 ∂33g12 - ½ g00 g13 g13 ∂11g33 + g00 g13 g13 ∂13g13 - ½ g00 g13 g13 ∂33g11 - g00 g13 g22 ∂12g23 + g00 g13 g22 ∂13g22 + g00 g13 g22 ∂22g13 - g00 g13 g22 ∂23g12 - g00 g13 g23 ∂12g33 + g00 g13 g23 ∂13g23 + g00 g13 g23 ∂23g13 - g00 g13 g23 ∂33g12 + ½ g00 g22 g33 ∂22g33 - g00 g22 g33 ∂23g23 + ½ g00 g22 g33 ∂33g22 - ½ g00 g23 g23 ∂22g33 + g00 g23 g23 ∂23g23 - ½ g00 g23 g23 ∂33g22 - ½ g11 ∂00g11 + g11 ∂01g01 - ½ g11 ∂11g00 - g12 ∂00g12 + g12 ∂01g02 + g12 ∂02g01 - g12 ∂12g00 - g13 ∂00g13 + g13 ∂01g03 + g13 ∂03g01 - g13 ∂13g00 - ½ g22 ∂00g22 + g22 ∂02g02 - ½ g22 ∂22g00 - g23 ∂00g23 + g23 ∂02g03 + g23 ∂03g02 - g23 ∂23g00 - ½ g33 ∂00g33 + g33 ∂03g03 - ½ g33 ∂33g00
01G01 = ½ g01 g00 g11 ∂00g11 - g01 g00 g11 ∂01g01 + ½ g01 g00 g11 ∂11g00 + g01 g00 g12 ∂00g12 - g01 g00 g12 ∂01g02 - g01 g00 g12 ∂02g01 + g01 g00 g12 ∂12g00 + g01 g00 g13 ∂00g13 - g01 g00 g13 ∂01g03 - g01 g00 g13 ∂03g01 + g01 g00 g13 ∂13g00 + ½ g01 g00 g22 ∂00g22 - g01 g00 g22 ∂02g02 + ½ g01 g00 g22 ∂22g00 + g01 g00 g23 ∂00g23 - g01 g00 g23 ∂02g03 - g01 g00 g23 ∂03g02 + g01 g00 g23 ∂23g00 + ½ g01 g00 g33 ∂00g33 - g01 g00 g33 ∂03g03 + ½ g01 g00 g33 ∂33g00 - ½ g01 g01 g01 ∂00g11 + g01 g01 g01 ∂01g01 - ½ g01 g01 g01 ∂11g00 - g01 g01 g02 ∂00g12 + g01 g01 g02 ∂01g02 + g01 g01 g02 ∂02g01 - g01 g01 g02 ∂12g00 - g01 g01 g03 ∂00g13 + g01 g01 g03 ∂01g03 + g01 g01 g03 ∂03g01 - g01 g01 g03 ∂13g00 + g01 g01 g12 ∂01g12 - g01 g01 g12 ∂02g11 - g01 g01 g12 ∂11g02 + g01 g01 g12 ∂12g01 + g01 g01 g13 ∂01g13 - g01 g01 g13 ∂03g11 - g01 g01 g13 ∂11g03 + g01 g01 g13 ∂13g01 + g01 g01 g22 ∂01g22 - g01 g01 g22 ∂02g12 - g01 g01 g22 ∂12g02 + g01 g01 g22 ∂22g01 + 2 g01 g01 g23 ∂01g23 - g01 g01 g23 ∂02g13 - g01 g01 g23 ∂03g12 - g01 g01 g23 ∂12g03 - g01 g01 g23 ∂13g02 + 2 g01 g01 g23 ∂23g01 + g01 g01 g33 ∂01g33 - g01 g01 g33 ∂03g13 - g01 g01 g33 ∂13g03 + g01 g01 g33 ∂33g01 - ½ g01 g02 g02 ∂00g22 + g01 g02 g02 ∂02g02 - ½ g01 g02 g02 ∂22g00 - g01 g02 g03 ∂00g23 + g01 g02 g03 ∂02g03 + g01 g02 g03 ∂03g02 - g01 g02 g03 ∂23g00 - g01 g02 g11 ∂01g12 + g01 g02 g11 ∂02g11 + g01 g02 g11 ∂11g02 - g01 g02 g11 ∂12g01 - g01 g02 g12 ∂01g22 + g01 g02 g12 ∂02g12 + g01 g02 g12 ∂12g02 - g01 g02 g12 ∂22g01 - g01 g02 g13 ∂01g23 + 2 g01 g02 g13 ∂02g13 - g01 g02 g13 ∂03g12 - g01 g02 g13 ∂12g03 + 2 g01 g02 g13 ∂13g02 - g01 g02 g13 ∂23g01 + g01 g02 g23 ∂02g23 - g01 g02 g23 ∂03g22 - g01 g02 g23 ∂22g03 + g01 g02 g23 ∂23g02 + g01 g02 g33 ∂02g33 - g01 g02 g33 ∂03g23 - g01 g02 g33 ∂23g03 + g01 g02 g33 ∂33g02 - ½ g01 g03 g03 ∂00g33 + g01 g03 g03 ∂03g03 - ½ g01 g03 g03 ∂33g00 - g01 g03 g11 ∂01g13 + g01 g03 g11 ∂03g11 + g01 g03 g11 ∂11g03 - g01 g03 g11 ∂13g01 - g01 g03 g12 ∂01g23 - g01 g03 g12 ∂02g13 + 2 g01 g03 g12 ∂03g12 + 2 g01 g03 g12 ∂12g03 - g01 g03 g12 ∂13g02 - g01 g03 g12 ∂23g01 - g01 g03 g13 ∂01g33 + g01 g03 g13 ∂03g13 + g01 g03 g13 ∂13g03 - g01 g03 g13 ∂33g01 - g01 g03 g22 ∂02g23 + g01 g03 g22 ∂03g22 + g01 g03 g22 ∂22g03 - g01 g03 g22 ∂23g02 - g01 g03 g23 ∂02g33 + g01 g03 g23 ∂03g23 + g01 g03 g23 ∂23g03 - g01 g03 g23 ∂33g02 + ½ g01 g11 g22 ∂11g22 - g01 g11 g22 ∂12g12 + ½ g01 g11 g22 ∂22g11 + g01 g11 g23 ∂11g23 - g01 g11 g23 ∂12g13 - g01 g11 g23 ∂13g12 + g01 g11 g23 ∂23g11 + ½ g01 g11 g33 ∂11g33 - g01 g11 g33 ∂13g13 + ½ g01 g11 g33 ∂33g11 - ½ g01 g12 g12 ∂11g22 + g01 g12 g12 ∂12g12 - ½ g01 g12 g12 ∂22g11 - g01 g12 g13 ∂11g23 + g01 g12 g13 ∂12g13 + g01 g12 g13 ∂13g12 - g01 g12 g13 ∂23g11 + g01 g12 g23 ∂12g23 - g01 g12 g23 ∂13g22 - g01 g12 g23 ∂22g13 + g01 g12 g23 ∂23g12 + g01 g12 g33 ∂12g33 - g01 g12 g33 ∂13g23 - g01 g12 g33 ∂23g13 + g01 g12 g33 ∂33g12 - ½ g01 g13 g13 ∂11g33 + g01 g13 g13 ∂13g13 - ½ g01 g13 g13 ∂33g11 - g01 g13 g22 ∂12g23 + g01 g13 g22 ∂13g22 + g01 g13 g22 ∂22g13 - g01 g13 g22 ∂23g12 - g01 g13 g23 ∂12g33 + g01 g13 g23 ∂13g23 + g01 g13 g23 ∂23g13 - g01 g13 g23 ∂33g12 + ½ g01 g22 g33 ∂22g33 - g01 g22 g33 ∂23g23 + ½ g01 g22 g33 ∂33g22 - ½ g01 g23 g23 ∂22g33 + g01 g23 g23 ∂23g23 - ½ g01 g23 g23 ∂33g22 + ½ g01 ∂00g11 - g01 ∂01g01 + ½ g01 ∂11g00 + ½ g02 ∂00g12 - ½ g02 ∂01g02 - ½ g02 ∂02g01 + ½ g02 ∂12g00 + ½ g03 ∂00g13 - ½ g03 ∂01g03 - ½ g03 ∂03g01 + ½ g03 ∂13g00 - ½ g12 ∂01g12 + ½ g12 ∂02g11 + ½ g12 ∂11g02 - ½ g12 ∂12g01 - ½ g13 ∂01g13 + ½ g13 ∂03g11 + ½ g13 ∂11g03 - ½ g13 ∂13g01 - ½ g22 ∂01g22 + ½ g22 ∂02g12 + ½ g22 ∂12g02 - ½ g22 ∂22g01 - g23 ∂01g23 + ½ g23 ∂02g13 + ½ g23 ∂03g12 + ½ g23 ∂12g03 + ½ g23 ∂13g02 - g23 ∂23g01 - ½ g33 ∂01g33 + ½ g33 ∂03g13 + ½ g33 ∂13g03 - ½ g33 ∂33g01
02G02 = ½ g02 g00 g11 ∂00g11 - g02 g00 g11 ∂01g01 + ½ g02 g00 g11 ∂11g00 + g02 g00 g12 ∂00g12 - g02 g00 g12 ∂01g02 - g02 g00 g12 ∂02g01 + g02 g00 g12 ∂12g00 + g02 g00 g13 ∂00g13 - g02 g00 g13 ∂01g03 - g02 g00 g13 ∂03g01 + g02 g00 g13 ∂13g00 + ½ g02 g00 g22 ∂00g22 - g02 g00 g22 ∂02g02 + ½ g02 g00 g22 ∂22g00 + g02 g00 g23 ∂00g23 - g02 g00 g23 ∂02g03 - g02 g00 g23 ∂03g02 + g02 g00 g23 ∂23g00 + ½ g02 g00 g33 ∂00g33 - g02 g00 g33 ∂03g03 + ½ g02 g00 g33 ∂33g00 - ½ g02 g01 g01 ∂00g11 + g02 g01 g01 ∂01g01 - ½ g02 g01 g01 ∂11g00 - g02 g01 g02 ∂00g12 + g02 g01 g02 ∂01g02 + g02 g01 g02 ∂02g01 - g02 g01 g02 ∂12g00 - g02 g01 g03 ∂00g13 + g02 g01 g03 ∂01g03 + g02 g01 g03 ∂03g01 - g02 g01 g03 ∂13g00 + g02 g01 g12 ∂01g12 - g02 g01 g12 ∂02g11 - g02 g01 g12 ∂11g02 + g02 g01 g12 ∂12g01 + g02 g01 g13 ∂01g13 - g02 g01 g13 ∂03g11 - g02 g01 g13 ∂11g03 + g02 g01 g13 ∂13g01 + g02 g01 g22 ∂01g22 - g02 g01 g22 ∂02g12 - g02 g01 g22 ∂12g02 + g02 g01 g22 ∂22g01 + 2 g02 g01 g23 ∂01g23 - g02 g01 g23 ∂02g13 - g02 g01 g23 ∂03g12 - g02 g01 g23 ∂12g03 - g02 g01 g23 ∂13g02 + 2 g02 g01 g23 ∂23g01 + g02 g01 g33 ∂01g33 - g02 g01 g33 ∂03g13 - g02 g01 g33 ∂13g03 + g02 g01 g33 ∂33g01 - ½ g02 g02 g02 ∂00g22 + g02 g02 g02 ∂02g02 - ½ g02 g02 g02 ∂22g00 - g02 g02 g03 ∂00g23 + g02 g02 g03 ∂02g03 + g02 g02 g03 ∂03g02 - g02 g02 g03 ∂23g00 - g02 g02 g11 ∂01g12 + g02 g02 g11 ∂02g11 + g02 g02 g11 ∂11g02 - g02 g02 g11 ∂12g01 - g02 g02 g12 ∂01g22 + g02 g02 g12 ∂02g12 + g02 g02 g12 ∂12g02 - g02 g02 g12 ∂22g01 - g02 g02 g13 ∂01g23 + 2 g02 g02 g13 ∂02g13 - g02 g02 g13 ∂03g12 - g02 g02 g13 ∂12g03 + 2 g02 g02 g13 ∂13g02 - g02 g02 g13 ∂23g01 + g02 g02 g23 ∂02g23 - g02 g02 g23 ∂03g22 - g02 g02 g23 ∂22g03 + g02 g02 g23 ∂23g02 + g02 g02 g33 ∂02g33 - g02 g02 g33 ∂03g23 - g02 g02 g33 ∂23g03 + g02 g02 g33 ∂33g02 - ½ g02 g03 g03 ∂00g33 + g02 g03 g03 ∂03g03 - ½ g02 g03 g03 ∂33g00 - g02 g03 g11 ∂01g13 + g02 g03 g11 ∂03g11 + g02 g03 g11 ∂11g03 - g02 g03 g11 ∂13g01 - g02 g03 g12 ∂01g23 - g02 g03 g12 ∂02g13 + 2 g02 g03 g12 ∂03g12 + 2 g02 g03 g12 ∂12g03 - g02 g03 g12 ∂13g02 - g02 g03 g12 ∂23g01 - g02 g03 g13 ∂01g33 + g02 g03 g13 ∂03g13 + g02 g03 g13 ∂13g03 - g02 g03 g13 ∂33g01 - g02 g03 g22 ∂02g23 + g02 g03 g22 ∂03g22 + g02 g03 g22 ∂22g03 - g02 g03 g22 ∂23g02 - g02 g03 g23 ∂02g33 + g02 g03 g23 ∂03g23 + g02 g03 g23 ∂23g03 - g02 g03 g23 ∂33g02 + ½ g02 g11 g22 ∂11g22 - g02 g11 g22 ∂12g12 + ½ g02 g11 g22 ∂22g11 + g02 g11 g23 ∂11g23 - g02 g11 g23 ∂12g13 - g02 g11 g23 ∂13g12 + g02 g11 g23 ∂23g11 + ½ g02 g11 g33 ∂11g33 - g02 g11 g33 ∂13g13 + ½ g02 g11 g33 ∂33g11 - ½ g02 g12 g12 ∂11g22 + g02 g12 g12 ∂12g12 - ½ g02 g12 g12 ∂22g11 - g02 g12 g13 ∂11g23 + g02 g12 g13 ∂12g13 + g02 g12 g13 ∂13g12 - g02 g12 g13 ∂23g11 + g02 g12 g23 ∂12g23 - g02 g12 g23 ∂13g22 - g02 g12 g23 ∂22g13 + g02 g12 g23 ∂23g12 + g02 g12 g33 ∂12g33 - g02 g12 g33 ∂13g23 - g02 g12 g33 ∂23g13 + g02 g12 g33 ∂33g12 - ½ g02 g13 g13 ∂11g33 + g02 g13 g13 ∂13g13 - ½ g02 g13 g13 ∂33g11 - g02 g13 g22 ∂12g23 + g02 g13 g22 ∂13g22 + g02 g13 g22 ∂22g13 - g02 g13 g22 ∂23g12 - g02 g13 g23 ∂12g33 + g02 g13 g23 ∂13g23 + g02 g13 g23 ∂23g13 - g02 g13 g23 ∂33g12 + ½ g02 g22 g33 ∂22g33 - g02 g22 g33 ∂23g23 + ½ g02 g22 g33 ∂33g22 - ½ g02 g23 g23 ∂22g33 + g02 g23 g23 ∂23g23 - ½ g02 g23 g23 ∂33g22 + ½ g01 ∂00g12 - ½ g01 ∂01g02 - ½ g01 ∂02g01 + ½ g01 ∂12g00 + ½ g02 ∂00g22 - g02 ∂02g02 + ½ g02 ∂22g00 + ½ g03 ∂00g23 - ½ g03 ∂02g03 - ½ g03 ∂03g02 + ½ g03 ∂23g00 + ½ g11 ∂01g12 - ½ g11 ∂02g11 - ½ g11 ∂11g02 + ½ g11 ∂12g01 + ½ g12 ∂01g22 - ½ g12 ∂02g12 - ½ g12 ∂12g02 + ½ g12 ∂22g01 + ½ g13 ∂01g23 - g13 ∂02g13 + ½ g13 ∂03g12 + ½ g13 ∂12g03 - g13 ∂13g02 + ½ g13 ∂23g01 - ½ g23 ∂02g23 + ½ g23 ∂03g22 + ½ g23 ∂22g03 - ½ g23 ∂23g02 - ½ g33 ∂02g33 + ½ g33 ∂03g23 + ½ g33 ∂23g03 - ½ g33 ∂33g02
03G03 = ½ g03 g00 g11 ∂00g11 - g03 g00 g11 ∂01g01 + ½ g03 g00 g11 ∂11g00 + g03 g00 g12 ∂00g12 - g03 g00 g12 ∂01g02 - g03 g00 g12 ∂02g01 + g03 g00 g12 ∂12g00 + g03 g00 g13 ∂00g13 - g03 g00 g13 ∂01g03 - g03 g00 g13 ∂03g01 + g03 g00 g13 ∂13g00 + ½ g03 g00 g22 ∂00g22 - g03 g00 g22 ∂02g02 + ½ g03 g00 g22 ∂22g00 + g03 g00 g23 ∂00g23 - g03 g00 g23 ∂02g03 - g03 g00 g23 ∂03g02 + g03 g00 g23 ∂23g00 + ½ g03 g00 g33 ∂00g33 - g03 g00 g33 ∂03g03 + ½ g03 g00 g33 ∂33g00 - ½ g03 g01 g01 ∂00g11 + g03 g01 g01 ∂01g01 - ½ g03 g01 g01 ∂11g00 - g03 g01 g02 ∂00g12 + g03 g01 g02 ∂01g02 + g03 g01 g02 ∂02g01 - g03 g01 g02 ∂12g00 - g03 g01 g03 ∂00g13 + g03 g01 g03 ∂01g03 + g03 g01 g03 ∂03g01 - g03 g01 g03 ∂13g00 + g03 g01 g12 ∂01g12 - g03 g01 g12 ∂02g11 - g03 g01 g12 ∂11g02 + g03 g01 g12 ∂12g01 + g03 g01 g13 ∂01g13 - g03 g01 g13 ∂03g11 - g03 g01 g13 ∂11g03 + g03 g01 g13 ∂13g01 + g03 g01 g22 ∂01g22 - g03 g01 g22 ∂02g12 - g03 g01 g22 ∂12g02 + g03 g01 g22 ∂22g01 + 2 g03 g01 g23 ∂01g23 - g03 g01 g23 ∂02g13 - g03 g01 g23 ∂03g12 - g03 g01 g23 ∂12g03 - g03 g01 g23 ∂13g02 + 2 g03 g01 g23 ∂23g01 + g03 g01 g33 ∂01g33 - g03 g01 g33 ∂03g13 - g03 g01 g33 ∂13g03 + g03 g01 g33 ∂33g01 - ½ g03 g02 g02 ∂00g22 + g03 g02 g02 ∂02g02 - ½ g03 g02 g02 ∂22g00 - g03 g02 g03 ∂00g23 + g03 g02 g03 ∂02g03 + g03 g02 g03 ∂03g02 - g03 g02 g03 ∂23g00 - g03 g02 g11 ∂01g12 + g03 g02 g11 ∂02g11 + g03 g02 g11 ∂11g02 - g03 g02 g11 ∂12g01 - g03 g02 g12 ∂01g22 + g03 g02 g12 ∂02g12 + g03 g02 g12 ∂12g02 - g03 g02 g12 ∂22g01 - g03 g02 g13 ∂01g23 + 2 g03 g02 g13 ∂02g13 - g03 g02 g13 ∂03g12 - g03 g02 g13 ∂12g03 + 2 g03 g02 g13 ∂13g02 - g03 g02 g13 ∂23g01 + g03 g02 g23 ∂02g23 - g03 g02 g23 ∂03g22 - g03 g02 g23 ∂22g03 + g03 g02 g23 ∂23g02 + g03 g02 g33 ∂02g33 - g03 g02 g33 ∂03g23 - g03 g02 g33 ∂23g03 + g03 g02 g33 ∂33g02 - ½ g03 g03 g03 ∂00g33 + g03 g03 g03 ∂03g03 - ½ g03 g03 g03 ∂33g00 - g03 g03 g11 ∂01g13 + g03 g03 g11 ∂03g11 + g03 g03 g11 ∂11g03 - g03 g03 g11 ∂13g01 - g03 g03 g12 ∂01g23 - g03 g03 g12 ∂02g13 + 2 g03 g03 g12 ∂03g12 + 2 g03 g03 g12 ∂12g03 - g03 g03 g12 ∂13g02 - g03 g03 g12 ∂23g01 - g03 g03 g13 ∂01g33 + g03 g03 g13 ∂03g13 + g03 g03 g13 ∂13g03 - g03 g03 g13 ∂33g01 - g03 g03 g22 ∂02g23 + g03 g03 g22 ∂03g22 + g03 g03 g22 ∂22g03 - g03 g03 g22 ∂23g02 - g03 g03 g23 ∂02g33 + g03 g03 g23 ∂03g23 + g03 g03 g23 ∂23g03 - g03 g03 g23 ∂33g02 + ½ g03 g11 g22 ∂11g22 - g03 g11 g22 ∂12g12 + ½ g03 g11 g22 ∂22g11 + g03 g11 g23 ∂11g23 - g03 g11 g23 ∂12g13 - g03 g11 g23 ∂13g12 + g03 g11 g23 ∂23g11 + ½ g03 g11 g33 ∂11g33 - g03 g11 g33 ∂13g13 + ½ g03 g11 g33 ∂33g11 - ½ g03 g12 g12 ∂11g22 + g03 g12 g12 ∂12g12 - ½ g03 g12 g12 ∂22g11 - g03 g12 g13 ∂11g23 + g03 g12 g13 ∂12g13 + g03 g12 g13 ∂13g12 - g03 g12 g13 ∂23g11 + g03 g12 g23 ∂12g23 - g03 g12 g23 ∂13g22 - g03 g12 g23 ∂22g13 + g03 g12 g23 ∂23g12 + g03 g12 g33 ∂12g33 - g03 g12 g33 ∂13g23 - g03 g12 g33 ∂23g13 + g03 g12 g33 ∂33g12 - ½ g03 g13 g13 ∂11g33 + g03 g13 g13 ∂13g13 - ½ g03 g13 g13 ∂33g11 - g03 g13 g22 ∂12g23 + g03 g13 g22 ∂13g22 + g03 g13 g22 ∂22g13 - g03 g13 g22 ∂23g12 - g03 g13 g23 ∂12g33 + g03 g13 g23 ∂13g23 + g03 g13 g23 ∂23g13 - g03 g13 g23 ∂33g12 + ½ g03 g22 g33 ∂22g33 - g03 g22 g33 ∂23g23 + ½ g03 g22 g33 ∂33g22 - ½ g03 g23 g23 ∂22g33 + g03 g23 g23 ∂23g23 - ½ g03 g23 g23 ∂33g22 + ½ g01 ∂00g13 - ½ g01 ∂01g03 - ½ g01 ∂03g01 + ½ g01 ∂13g00 + ½ g02 ∂00g23 - ½ g02 ∂02g03 - ½ g02 ∂03g02 + ½ g02 ∂23g00 + ½ g03 ∂00g33 - g03 ∂03g03 + ½ g03 ∂33g00 + ½ g11 ∂01g13 - ½ g11 ∂03g11 - ½ g11 ∂11g03 + ½ g11 ∂13g01 + ½ g12 ∂01g23 + ½ g12 ∂02g13 - g12 ∂03g12 - g12 ∂12g03 + ½ g12 ∂13g02 + ½ g12 ∂23g01 + ½ g13 ∂01g33 - ½ g13 ∂03g13 - ½ g13 ∂13g03 + ½ g13 ∂33g01 + ½ g22 ∂02g23 - ½ g22 ∂03g22 - ½ g22 ∂22g03 + ½ g22 ∂23g02 + ½ g23 ∂02g33 - ½ g23 ∂03g23 - ½ g23 ∂23g03 + ½ g23 ∂33g02
10sameG10 = G01
11G11 = ½ g11 g00 g11 ∂00g11 - g11 g00 g11 ∂01g01 + ½ g11 g00 g11 ∂11g00 + g11 g00 g12 ∂00g12 - g11 g00 g12 ∂01g02 - g11 g00 g12 ∂02g01 + g11 g00 g12 ∂12g00 + g11 g00 g13 ∂00g13 - g11 g00 g13 ∂01g03 - g11 g00 g13 ∂03g01 + g11 g00 g13 ∂13g00 + ½ g11 g00 g22 ∂00g22 - g11 g00 g22 ∂02g02 + ½ g11 g00 g22 ∂22g00 + g11 g00 g23 ∂00g23 - g11 g00 g23 ∂02g03 - g11 g00 g23 ∂03g02 + g11 g00 g23 ∂23g00 + ½ g11 g00 g33 ∂00g33 - g11 g00 g33 ∂03g03 + ½ g11 g00 g33 ∂33g00 - ½ g11 g01 g01 ∂00g11 + g11 g01 g01 ∂01g01 - ½ g11 g01 g01 ∂11g00 - g11 g01 g02 ∂00g12 + g11 g01 g02 ∂01g02 + g11 g01 g02 ∂02g01 - g11 g01 g02 ∂12g00 - g11 g01 g03 ∂00g13 + g11 g01 g03 ∂01g03 + g11 g01 g03 ∂03g01 - g11 g01 g03 ∂13g00 + g11 g01 g12 ∂01g12 - g11 g01 g12 ∂02g11 - g11 g01 g12 ∂11g02 + g11 g01 g12 ∂12g01 + g11 g01 g13 ∂01g13 - g11 g01 g13 ∂03g11 - g11 g01 g13 ∂11g03 + g11 g01 g13 ∂13g01 + g11 g01 g22 ∂01g22 - g11 g01 g22 ∂02g12 - g11 g01 g22 ∂12g02 + g11 g01 g22 ∂22g01 + 2 g11 g01 g23 ∂01g23 - g11 g01 g23 ∂02g13 - g11 g01 g23 ∂03g12 - g11 g01 g23 ∂12g03 - g11 g01 g23 ∂13g02 + 2 g11 g01 g23 ∂23g01 + g11 g01 g33 ∂01g33 - g11 g01 g33 ∂03g13 - g11 g01 g33 ∂13g03 + g11 g01 g33 ∂33g01 - ½ g11 g02 g02 ∂00g22 + g11 g02 g02 ∂02g02 - ½ g11 g02 g02 ∂22g00 - g11 g02 g03 ∂00g23 + g11 g02 g03 ∂02g03 + g11 g02 g03 ∂03g02 - g11 g02 g03 ∂23g00 - g11 g02 g11 ∂01g12 + g11 g02 g11 ∂02g11 + g11 g02 g11 ∂11g02 - g11 g02 g11 ∂12g01 - g11 g02 g12 ∂01g22 + g11 g02 g12 ∂02g12 + g11 g02 g12 ∂12g02 - g11 g02 g12 ∂22g01 - g11 g02 g13 ∂01g23 + 2 g11 g02 g13 ∂02g13 - g11 g02 g13 ∂03g12 - g11 g02 g13 ∂12g03 + 2 g11 g02 g13 ∂13g02 - g11 g02 g13 ∂23g01 + g11 g02 g23 ∂02g23 - g11 g02 g23 ∂03g22 - g11 g02 g23 ∂22g03 + g11 g02 g23 ∂23g02 + g11 g02 g33 ∂02g33 - g11 g02 g33 ∂03g23 - g11 g02 g33 ∂23g03 + g11 g02 g33 ∂33g02 - ½ g11 g03 g03 ∂00g33 + g11 g03 g03 ∂03g03 - ½ g11 g03 g03 ∂33g00 - g11 g03 g11 ∂01g13 + g11 g03 g11 ∂03g11 + g11 g03 g11 ∂11g03 - g11 g03 g11 ∂13g01 - g11 g03 g12 ∂01g23 - g11 g03 g12 ∂02g13 + 2 g11 g03 g12 ∂03g12 + 2 g11 g03 g12 ∂12g03 - g11 g03 g12 ∂13g02 - g11 g03 g12 ∂23g01 - g11 g03 g13 ∂01g33 + g11 g03 g13 ∂03g13 + g11 g03 g13 ∂13g03 - g11 g03 g13 ∂33g01 - g11 g03 g22 ∂02g23 + g11 g03 g22 ∂03g22 + g11 g03 g22 ∂22g03 - g11 g03 g22 ∂23g02 - g11 g03 g23 ∂02g33 + g11 g03 g23 ∂03g23 + g11 g03 g23 ∂23g03 - g11 g03 g23 ∂33g02 + ½ g11 g11 g22 ∂11g22 - g11 g11 g22 ∂12g12 + ½ g11 g11 g22 ∂22g11 + g11 g11 g23 ∂11g23 - g11 g11 g23 ∂12g13 - g11 g11 g23 ∂13g12 + g11 g11 g23 ∂23g11 + ½ g11 g11 g33 ∂11g33 - g11 g11 g33 ∂13g13 + ½ g11 g11 g33 ∂33g11 - ½ g11 g12 g12 ∂11g22 + g11 g12 g12 ∂12g12 - ½ g11 g12 g12 ∂22g11 - g11 g12 g13 ∂11g23 + g11 g12 g13 ∂12g13 + g11 g12 g13 ∂13g12 - g11 g12 g13 ∂23g11 + g11 g12 g23 ∂12g23 - g11 g12 g23 ∂13g22 - g11 g12 g23 ∂22g13 + g11 g12 g23 ∂23g12 + g11 g12 g33 ∂12g33 - g11 g12 g33 ∂13g23 - g11 g12 g33 ∂23g13 + g11 g12 g33 ∂33g12 - ½ g11 g13 g13 ∂11g33 + g11 g13 g13 ∂13g13 - ½ g11 g13 g13 ∂33g11 - g11 g13 g22 ∂12g23 + g11 g13 g22 ∂13g22 + g11 g13 g22 ∂22g13 - g11 g13 g22 ∂23g12 - g11 g13 g23 ∂12g33 + g11 g13 g23 ∂13g23 + g11 g13 g23 ∂23g13 - g11 g13 g23 ∂33g12 + ½ g11 g22 g33 ∂22g33 - g11 g22 g33 ∂23g23 + ½ g11 g22 g33 ∂33g22 - ½ g11 g23 g23 ∂22g33 + g11 g23 g23 ∂23g23 - ½ g11 g23 g23 ∂33g22 - ½ g00 ∂00g11 + g00 ∂01g01 - ½ g00 ∂11g00 + g02 ∂01g12 - g02 ∂02g11 - g02 ∂11g02 + g02 ∂12g01 + g03 ∂01g13 - g03 ∂03g11 - g03 ∂11g03 + g03 ∂13g01 - ½ g22 ∂11g22 + g22 ∂12g12 - ½ g22 ∂22g11 - g23 ∂11g23 + g23 ∂12g13 + g23 ∂13g12 - g23 ∂23g11 - ½ g33 ∂11g33 + g33 ∂13g13 - ½ g33 ∂33g11
12G12 = ½ g12 g00 g11 ∂00g11 - g12 g00 g11 ∂01g01 + ½ g12 g00 g11 ∂11g00 + g12 g00 g12 ∂00g12 - g12 g00 g12 ∂01g02 - g12 g00 g12 ∂02g01 + g12 g00 g12 ∂12g00 + g12 g00 g13 ∂00g13 - g12 g00 g13 ∂01g03 - g12 g00 g13 ∂03g01 + g12 g00 g13 ∂13g00 + ½ g12 g00 g22 ∂00g22 - g12 g00 g22 ∂02g02 + ½ g12 g00 g22 ∂22g00 + g12 g00 g23 ∂00g23 - g12 g00 g23 ∂02g03 - g12 g00 g23 ∂03g02 + g12 g00 g23 ∂23g00 + ½ g12 g00 g33 ∂00g33 - g12 g00 g33 ∂03g03 + ½ g12 g00 g33 ∂33g00 - ½ g12 g01 g01 ∂00g11 + g12 g01 g01 ∂01g01 - ½ g12 g01 g01 ∂11g00 - g12 g01 g02 ∂00g12 + g12 g01 g02 ∂01g02 + g12 g01 g02 ∂02g01 - g12 g01 g02 ∂12g00 - g12 g01 g03 ∂00g13 + g12 g01 g03 ∂01g03 + g12 g01 g03 ∂03g01 - g12 g01 g03 ∂13g00 + g12 g01 g12 ∂01g12 - g12 g01 g12 ∂02g11 - g12 g01 g12 ∂11g02 + g12 g01 g12 ∂12g01 + g12 g01 g13 ∂01g13 - g12 g01 g13 ∂03g11 - g12 g01 g13 ∂11g03 + g12 g01 g13 ∂13g01 + g12 g01 g22 ∂01g22 - g12 g01 g22 ∂02g12 - g12 g01 g22 ∂12g02 + g12 g01 g22 ∂22g01 + 2 g12 g01 g23 ∂01g23 - g12 g01 g23 ∂02g13 - g12 g01 g23 ∂03g12 - g12 g01 g23 ∂12g03 - g12 g01 g23 ∂13g02 + 2 g12 g01 g23 ∂23g01 + g12 g01 g33 ∂01g33 - g12 g01 g33 ∂03g13 - g12 g01 g33 ∂13g03 + g12 g01 g33 ∂33g01 - ½ g12 g02 g02 ∂00g22 + g12 g02 g02 ∂02g02 - ½ g12 g02 g02 ∂22g00 - g12 g02 g03 ∂00g23 + g12 g02 g03 ∂02g03 + g12 g02 g03 ∂03g02 - g12 g02 g03 ∂23g00 - g12 g02 g11 ∂01g12 + g12 g02 g11 ∂02g11 + g12 g02 g11 ∂11g02 - g12 g02 g11 ∂12g01 - g12 g02 g12 ∂01g22 + g12 g02 g12 ∂02g12 + g12 g02 g12 ∂12g02 - g12 g02 g12 ∂22g01 - g12 g02 g13 ∂01g23 + 2 g12 g02 g13 ∂02g13 - g12 g02 g13 ∂03g12 - g12 g02 g13 ∂12g03 + 2 g12 g02 g13 ∂13g02 - g12 g02 g13 ∂23g01 + g12 g02 g23 ∂02g23 - g12 g02 g23 ∂03g22 - g12 g02 g23 ∂22g03 + g12 g02 g23 ∂23g02 + g12 g02 g33 ∂02g33 - g12 g02 g33 ∂03g23 - g12 g02 g33 ∂23g03 + g12 g02 g33 ∂33g02 - ½ g12 g03 g03 ∂00g33 + g12 g03 g03 ∂03g03 - ½ g12 g03 g03 ∂33g00 - g12 g03 g11 ∂01g13 + g12 g03 g11 ∂03g11 + g12 g03 g11 ∂11g03 - g12 g03 g11 ∂13g01 - g12 g03 g12 ∂01g23 - g12 g03 g12 ∂02g13 + 2 g12 g03 g12 ∂03g12 + 2 g12 g03 g12 ∂12g03 - g12 g03 g12 ∂13g02 - g12 g03 g12 ∂23g01 - g12 g03 g13 ∂01g33 + g12 g03 g13 ∂03g13 + g12 g03 g13 ∂13g03 - g12 g03 g13 ∂33g01 - g12 g03 g22 ∂02g23 + g12 g03 g22 ∂03g22 + g12 g03 g22 ∂22g03 - g12 g03 g22 ∂23g02 - g12 g03 g23 ∂02g33 + g12 g03 g23 ∂03g23 + g12 g03 g23 ∂23g03 - g12 g03 g23 ∂33g02 + ½ g12 g11 g22 ∂11g22 - g12 g11 g22 ∂12g12 + ½ g12 g11 g22 ∂22g11 + g12 g11 g23 ∂11g23 - g12 g11 g23 ∂12g13 - g12 g11 g23 ∂13g12 + g12 g11 g23 ∂23g11 + ½ g12 g11 g33 ∂11g33 - g12 g11 g33 ∂13g13 + ½ g12 g11 g33 ∂33g11 - ½ g12 g12 g12 ∂11g22 + g12 g12 g12 ∂12g12 - ½ g12 g12 g12 ∂22g11 - g12 g12 g13 ∂11g23 + g12 g12 g13 ∂12g13 + g12 g12 g13 ∂13g12 - g12 g12 g13 ∂23g11 + g12 g12 g23 ∂12g23 - g12 g12 g23 ∂13g22 - g12 g12 g23 ∂22g13 + g12 g12 g23 ∂23g12 + g12 g12 g33 ∂12g33 - g12 g12 g33 ∂13g23 - g12 g12 g33 ∂23g13 + g12 g12 g33 ∂33g12 - ½ g12 g13 g13 ∂11g33 + g12 g13 g13 ∂13g13 - ½ g12 g13 g13 ∂33g11 - g12 g13 g22 ∂12g23 + g12 g13 g22 ∂13g22 + g12 g13 g22 ∂22g13 - g12 g13 g22 ∂23g12 - g12 g13 g23 ∂12g33 + g12 g13 g23 ∂13g23 + g12 g13 g23 ∂23g13 - g12 g13 g23 ∂33g12 + ½ g12 g22 g33 ∂22g33 - g12 g22 g33 ∂23g23 + ½ g12 g22 g33 ∂33g22 - ½ g12 g23 g23 ∂22g33 + g12 g23 g23 ∂23g23 - ½ g12 g23 g23 ∂33g22 - ½ g00 ∂00g12 + ½ g00 ∂01g02 + ½ g00 ∂02g01 - ½ g00 ∂12g00 - ½ g01 ∂01g12 + ½ g01 ∂02g11 + ½ g01 ∂11g02 - ½ g01 ∂12g01 + ½ g02 ∂01g22 - ½ g02 ∂02g12 - ½ g02 ∂12g02 + ½ g02 ∂22g01 + ½ g03 ∂01g23 + ½ g03 ∂02g13 - g03 ∂03g12 - g03 ∂12g03 + ½ g03 ∂13g02 + ½ g03 ∂23g01 + ½ g12 ∂11g22 - g12 ∂12g12 + ½ g12 ∂22g11 + ½ g13 ∂11g23 - ½ g13 ∂12g13 - ½ g13 ∂13g12 + ½ g13 ∂23g11 - ½ g23 ∂12g23 + ½ g23 ∂13g22 + ½ g23 ∂22g13 - ½ g23 ∂23g12 - ½ g33 ∂12g33 + ½ g33 ∂13g23 + ½ g33 ∂23g13 - ½ g33 ∂33g12
13G13 = ½ g13 g00 g11 ∂00g11 - g13 g00 g11 ∂01g01 + ½ g13 g00 g11 ∂11g00 + g13 g00 g12 ∂00g12 - g13 g00 g12 ∂01g02 - g13 g00 g12 ∂02g01 + g13 g00 g12 ∂12g00 + g13 g00 g13 ∂00g13 - g13 g00 g13 ∂01g03 - g13 g00 g13 ∂03g01 + g13 g00 g13 ∂13g00 + ½ g13 g00 g22 ∂00g22 - g13 g00 g22 ∂02g02 + ½ g13 g00 g22 ∂22g00 + g13 g00 g23 ∂00g23 - g13 g00 g23 ∂02g03 - g13 g00 g23 ∂03g02 + g13 g00 g23 ∂23g00 + ½ g13 g00 g33 ∂00g33 - g13 g00 g33 ∂03g03 + ½ g13 g00 g33 ∂33g00 - ½ g13 g01 g01 ∂00g11 + g13 g01 g01 ∂01g01 - ½ g13 g01 g01 ∂11g00 - g13 g01 g02 ∂00g12 + g13 g01 g02 ∂01g02 + g13 g01 g02 ∂02g01 - g13 g01 g02 ∂12g00 - g13 g01 g03 ∂00g13 + g13 g01 g03 ∂01g03 + g13 g01 g03 ∂03g01 - g13 g01 g03 ∂13g00 + g13 g01 g12 ∂01g12 - g13 g01 g12 ∂02g11 - g13 g01 g12 ∂11g02 + g13 g01 g12 ∂12g01 + g13 g01 g13 ∂01g13 - g13 g01 g13 ∂03g11 - g13 g01 g13 ∂11g03 + g13 g01 g13 ∂13g01 + g13 g01 g22 ∂01g22 - g13 g01 g22 ∂02g12 - g13 g01 g22 ∂12g02 + g13 g01 g22 ∂22g01 + 2 g13 g01 g23 ∂01g23 - g13 g01 g23 ∂02g13 - g13 g01 g23 ∂03g12 - g13 g01 g23 ∂12g03 - g13 g01 g23 ∂13g02 + 2 g13 g01 g23 ∂23g01 + g13 g01 g33 ∂01g33 - g13 g01 g33 ∂03g13 - g13 g01 g33 ∂13g03 + g13 g01 g33 ∂33g01 - ½ g13 g02 g02 ∂00g22 + g13 g02 g02 ∂02g02 - ½ g13 g02 g02 ∂22g00 - g13 g02 g03 ∂00g23 + g13 g02 g03 ∂02g03 + g13 g02 g03 ∂03g02 - g13 g02 g03 ∂23g00 - g13 g02 g11 ∂01g12 + g13 g02 g11 ∂02g11 + g13 g02 g11 ∂11g02 - g13 g02 g11 ∂12g01 - g13 g02 g12 ∂01g22 + g13 g02 g12 ∂02g12 + g13 g02 g12 ∂12g02 - g13 g02 g12 ∂22g01 - g13 g02 g13 ∂01g23 + 2 g13 g02 g13 ∂02g13 - g13 g02 g13 ∂03g12 - g13 g02 g13 ∂12g03 + 2 g13 g02 g13 ∂13g02 - g13 g02 g13 ∂23g01 + g13 g02 g23 ∂02g23 - g13 g02 g23 ∂03g22 - g13 g02 g23 ∂22g03 + g13 g02 g23 ∂23g02 + g13 g02 g33 ∂02g33 - g13 g02 g33 ∂03g23 - g13 g02 g33 ∂23g03 + g13 g02 g33 ∂33g02 - ½ g13 g03 g03 ∂00g33 + g13 g03 g03 ∂03g03 - ½ g13 g03 g03 ∂33g00 - g13 g03 g11 ∂01g13 + g13 g03 g11 ∂03g11 + g13 g03 g11 ∂11g03 - g13 g03 g11 ∂13g01 - g13 g03 g12 ∂01g23 - g13 g03 g12 ∂02g13 + 2 g13 g03 g12 ∂03g12 + 2 g13 g03 g12 ∂12g03 - g13 g03 g12 ∂13g02 - g13 g03 g12 ∂23g01 - g13 g03 g13 ∂01g33 + g13 g03 g13 ∂03g13 + g13 g03 g13 ∂13g03 - g13 g03 g13 ∂33g01 - g13 g03 g22 ∂02g23 + g13 g03 g22 ∂03g22 + g13 g03 g22 ∂22g03 - g13 g03 g22 ∂23g02 - g13 g03 g23 ∂02g33 + g13 g03 g23 ∂03g23 + g13 g03 g23 ∂23g03 - g13 g03 g23 ∂33g02 + ½ g13 g11 g22 ∂11g22 - g13 g11 g22 ∂12g12 + ½ g13 g11 g22 ∂22g11 + g13 g11 g23 ∂11g23 - g13 g11 g23 ∂12g13 - g13 g11 g23 ∂13g12 + g13 g11 g23 ∂23g11 + ½ g13 g11 g33 ∂11g33 - g13 g11 g33 ∂13g13 + ½ g13 g11 g33 ∂33g11 - ½ g13 g12 g12 ∂11g22 + g13 g12 g12 ∂12g12 - ½ g13 g12 g12 ∂22g11 - g13 g12 g13 ∂11g23 + g13 g12 g13 ∂12g13 + g13 g12 g13 ∂13g12 - g13 g12 g13 ∂23g11 + g13 g12 g23 ∂12g23 - g13 g12 g23 ∂13g22 - g13 g12 g23 ∂22g13 + g13 g12 g23 ∂23g12 + g13 g12 g33 ∂12g33 - g13 g12 g33 ∂13g23 - g13 g12 g33 ∂23g13 + g13 g12 g33 ∂33g12 - ½ g13 g13 g13 ∂11g33 + g13 g13 g13 ∂13g13 - ½ g13 g13 g13 ∂33g11 - g13 g13 g22 ∂12g23 + g13 g13 g22 ∂13g22 + g13 g13 g22 ∂22g13 - g13 g13 g22 ∂23g12 - g13 g13 g23 ∂12g33 + g13 g13 g23 ∂13g23 + g13 g13 g23 ∂23g13 - g13 g13 g23 ∂33g12 + ½ g13 g22 g33 ∂22g33 - g13 g22 g33 ∂23g23 + ½ g13 g22 g33 ∂33g22 - ½ g13 g23 g23 ∂22g33 + g13 g23 g23 ∂23g23 - ½ g13 g23 g23 ∂33g22 - ½ g00 ∂00g13 + ½ g00 ∂01g03 + ½ g00 ∂03g01 - ½ g00 ∂13g00 - ½ g01 ∂01g13 + ½ g01 ∂03g11 + ½ g01 ∂11g03 - ½ g01 ∂13g01 + ½ g02 ∂01g23 - g02 ∂02g13 + ½ g02 ∂03g12 + ½ g02 ∂12g03 - g02 ∂13g02 + ½ g02 ∂23g01 + ½ g03 ∂01g33 - ½ g03 ∂03g13 - ½ g03 ∂13g03 + ½ g03 ∂33g01 + ½ g12 ∂11g23 - ½ g12 ∂12g13 - ½ g12 ∂13g12 + ½ g12 ∂23g11 + ½ g13 ∂11g33 - g13 ∂13g13 + ½ g13 ∂33g11 + ½ g22 ∂12g23 - ½ g22 ∂13g22 - ½ g22 ∂22g13 + ½ g22 ∂23g12 + ½ g23 ∂12g33 - ½ g23 ∂13g23 - ½ g23 ∂23g13 + ½ g23 ∂33g12
20sameG20 = G02
21sameG21 = G12
22G22 = ½ g22 g00 g11 ∂00g11 - g22 g00 g11 ∂01g01 + ½ g22 g00 g11 ∂11g00 + g22 g00 g12 ∂00g12 - g22 g00 g12 ∂01g02 - g22 g00 g12 ∂02g01 + g22 g00 g12 ∂12g00 + g22 g00 g13 ∂00g13 - g22 g00 g13 ∂01g03 - g22 g00 g13 ∂03g01 + g22 g00 g13 ∂13g00 + ½ g22 g00 g22 ∂00g22 - g22 g00 g22 ∂02g02 + ½ g22 g00 g22 ∂22g00 + g22 g00 g23 ∂00g23 - g22 g00 g23 ∂02g03 - g22 g00 g23 ∂03g02 + g22 g00 g23 ∂23g00 + ½ g22 g00 g33 ∂00g33 - g22 g00 g33 ∂03g03 + ½ g22 g00 g33 ∂33g00 - ½ g22 g01 g01 ∂00g11 + g22 g01 g01 ∂01g01 - ½ g22 g01 g01 ∂11g00 - g22 g01 g02 ∂00g12 + g22 g01 g02 ∂01g02 + g22 g01 g02 ∂02g01 - g22 g01 g02 ∂12g00 - g22 g01 g03 ∂00g13 + g22 g01 g03 ∂01g03 + g22 g01 g03 ∂03g01 - g22 g01 g03 ∂13g00 + g22 g01 g12 ∂01g12 - g22 g01 g12 ∂02g11 - g22 g01 g12 ∂11g02 + g22 g01 g12 ∂12g01 + g22 g01 g13 ∂01g13 - g22 g01 g13 ∂03g11 - g22 g01 g13 ∂11g03 + g22 g01 g13 ∂13g01 + g22 g01 g22 ∂01g22 - g22 g01 g22 ∂02g12 - g22 g01 g22 ∂12g02 + g22 g01 g22 ∂22g01 + 2 g22 g01 g23 ∂01g23 - g22 g01 g23 ∂02g13 - g22 g01 g23 ∂03g12 - g22 g01 g23 ∂12g03 - g22 g01 g23 ∂13g02 + 2 g22 g01 g23 ∂23g01 + g22 g01 g33 ∂01g33 - g22 g01 g33 ∂03g13 - g22 g01 g33 ∂13g03 + g22 g01 g33 ∂33g01 - ½ g22 g02 g02 ∂00g22 + g22 g02 g02 ∂02g02 - ½ g22 g02 g02 ∂22g00 - g22 g02 g03 ∂00g23 + g22 g02 g03 ∂02g03 + g22 g02 g03 ∂03g02 - g22 g02 g03 ∂23g00 - g22 g02 g11 ∂01g12 + g22 g02 g11 ∂02g11 + g22 g02 g11 ∂11g02 - g22 g02 g11 ∂12g01 - g22 g02 g12 ∂01g22 + g22 g02 g12 ∂02g12 + g22 g02 g12 ∂12g02 - g22 g02 g12 ∂22g01 - g22 g02 g13 ∂01g23 + 2 g22 g02 g13 ∂02g13 - g22 g02 g13 ∂03g12 - g22 g02 g13 ∂12g03 + 2 g22 g02 g13 ∂13g02 - g22 g02 g13 ∂23g01 + g22 g02 g23 ∂02g23 - g22 g02 g23 ∂03g22 - g22 g02 g23 ∂22g03 + g22 g02 g23 ∂23g02 + g22 g02 g33 ∂02g33 - g22 g02 g33 ∂03g23 - g22 g02 g33 ∂23g03 + g22 g02 g33 ∂33g02 - ½ g22 g03 g03 ∂00g33 + g22 g03 g03 ∂03g03 - ½ g22 g03 g03 ∂33g00 - g22 g03 g11 ∂01g13 + g22 g03 g11 ∂03g11 + g22 g03 g11 ∂11g03 - g22 g03 g11 ∂13g01 - g22 g03 g12 ∂01g23 - g22 g03 g12 ∂02g13 + 2 g22 g03 g12 ∂03g12 + 2 g22 g03 g12 ∂12g03 - g22 g03 g12 ∂13g02 - g22 g03 g12 ∂23g01 - g22 g03 g13 ∂01g33 + g22 g03 g13 ∂03g13 + g22 g03 g13 ∂13g03 - g22 g03 g13 ∂33g01 - g22 g03 g22 ∂02g23 + g22 g03 g22 ∂03g22 + g22 g03 g22 ∂22g03 - g22 g03 g22 ∂23g02 - g22 g03 g23 ∂02g33 + g22 g03 g23 ∂03g23 + g22 g03 g23 ∂23g03 - g22 g03 g23 ∂33g02 + ½ g22 g11 g22 ∂11g22 - g22 g11 g22 ∂12g12 + ½ g22 g11 g22 ∂22g11 + g22 g11 g23 ∂11g23 - g22 g11 g23 ∂12g13 - g22 g11 g23 ∂13g12 + g22 g11 g23 ∂23g11 + ½ g22 g11 g33 ∂11g33 - g22 g11 g33 ∂13g13 + ½ g22 g11 g33 ∂33g11 - ½ g22 g12 g12 ∂11g22 + g22 g12 g12 ∂12g12 - ½ g22 g12 g12 ∂22g11 - g22 g12 g13 ∂11g23 + g22 g12 g13 ∂12g13 + g22 g12 g13 ∂13g12 - g22 g12 g13 ∂23g11 + g22 g12 g23 ∂12g23 - g22 g12 g23 ∂13g22 - g22 g12 g23 ∂22g13 + g22 g12 g23 ∂23g12 + g22 g12 g33 ∂12g33 - g22 g12 g33 ∂13g23 - g22 g12 g33 ∂23g13 + g22 g12 g33 ∂33g12 - ½ g22 g13 g13 ∂11g33 + g22 g13 g13 ∂13g13 - ½ g22 g13 g13 ∂33g11 - g22 g13 g22 ∂12g23 + g22 g13 g22 ∂13g22 + g22 g13 g22 ∂22g13 - g22 g13 g22 ∂23g12 - g22 g13 g23 ∂12g33 + g22 g13 g23 ∂13g23 + g22 g13 g23 ∂23g13 - g22 g13 g23 ∂33g12 + ½ g22 g22 g33 ∂22g33 - g22 g22 g33 ∂23g23 + ½ g22 g22 g33 ∂33g22 - ½ g22 g23 g23 ∂22g33 + g22 g23 g23 ∂23g23 - ½ g22 g23 g23 ∂33g22 - ½ g00 ∂00g22 + g00 ∂02g02 - ½ g00 ∂22g00 - g01 ∂01g22 + g01 ∂02g12 + g01 ∂12g02 - g01 ∂22g01 + g03 ∂02g23 - g03 ∂03g22 - g03 ∂22g03 + g03 ∂23g02 - ½ g11 ∂11g22 + g11 ∂12g12 - ½ g11 ∂22g11 + g13 ∂12g23 - g13 ∂13g22 - g13 ∂22g13 + g13 ∂23g12 - ½ g33 ∂22g33 + g33 ∂23g23 - ½ g33 ∂33g22
23G23 = ½ g23 g00 g11 ∂00g11 - g23 g00 g11 ∂01g01 + ½ g23 g00 g11 ∂11g00 + g23 g00 g12 ∂00g12 - g23 g00 g12 ∂01g02 - g23 g00 g12 ∂02g01 + g23 g00 g12 ∂12g00 + g23 g00 g13 ∂00g13 - g23 g00 g13 ∂01g03 - g23 g00 g13 ∂03g01 + g23 g00 g13 ∂13g00 + ½ g23 g00 g22 ∂00g22 - g23 g00 g22 ∂02g02 + ½ g23 g00 g22 ∂22g00 + g23 g00 g23 ∂00g23 - g23 g00 g23 ∂02g03 - g23 g00 g23 ∂03g02 + g23 g00 g23 ∂23g00 + ½ g23 g00 g33 ∂00g33 - g23 g00 g33 ∂03g03 + ½ g23 g00 g33 ∂33g00 - ½ g23 g01 g01 ∂00g11 + g23 g01 g01 ∂01g01 - ½ g23 g01 g01 ∂11g00 - g23 g01 g02 ∂00g12 + g23 g01 g02 ∂01g02 + g23 g01 g02 ∂02g01 - g23 g01 g02 ∂12g00 - g23 g01 g03 ∂00g13 + g23 g01 g03 ∂01g03 + g23 g01 g03 ∂03g01 - g23 g01 g03 ∂13g00 + g23 g01 g12 ∂01g12 - g23 g01 g12 ∂02g11 - g23 g01 g12 ∂11g02 + g23 g01 g12 ∂12g01 + g23 g01 g13 ∂01g13 - g23 g01 g13 ∂03g11 - g23 g01 g13 ∂11g03 + g23 g01 g13 ∂13g01 + g23 g01 g22 ∂01g22 - g23 g01 g22 ∂02g12 - g23 g01 g22 ∂12g02 + g23 g01 g22 ∂22g01 + 2 g23 g01 g23 ∂01g23 - g23 g01 g23 ∂02g13 - g23 g01 g23 ∂03g12 - g23 g01 g23 ∂12g03 - g23 g01 g23 ∂13g02 + 2 g23 g01 g23 ∂23g01 + g23 g01 g33 ∂01g33 - g23 g01 g33 ∂03g13 - g23 g01 g33 ∂13g03 + g23 g01 g33 ∂33g01 - ½ g23 g02 g02 ∂00g22 + g23 g02 g02 ∂02g02 - ½ g23 g02 g02 ∂22g00 - g23 g02 g03 ∂00g23 + g23 g02 g03 ∂02g03 + g23 g02 g03 ∂03g02 - g23 g02 g03 ∂23g00 - g23 g02 g11 ∂01g12 + g23 g02 g11 ∂02g11 + g23 g02 g11 ∂11g02 - g23 g02 g11 ∂12g01 - g23 g02 g12 ∂01g22 + g23 g02 g12 ∂02g12 + g23 g02 g12 ∂12g02 - g23 g02 g12 ∂22g01 - g23 g02 g13 ∂01g23 + 2 g23 g02 g13 ∂02g13 - g23 g02 g13 ∂03g12 - g23 g02 g13 ∂12g03 + 2 g23 g02 g13 ∂13g02 - g23 g02 g13 ∂23g01 + g23 g02 g23 ∂02g23 - g23 g02 g23 ∂03g22 - g23 g02 g23 ∂22g03 + g23 g02 g23 ∂23g02 + g23 g02 g33 ∂02g33 - g23 g02 g33 ∂03g23 - g23 g02 g33 ∂23g03 + g23 g02 g33 ∂33g02 - ½ g23 g03 g03 ∂00g33 + g23 g03 g03 ∂03g03 - ½ g23 g03 g03 ∂33g00 - g23 g03 g11 ∂01g13 + g23 g03 g11 ∂03g11 + g23 g03 g11 ∂11g03 - g23 g03 g11 ∂13g01 - g23 g03 g12 ∂01g23 - g23 g03 g12 ∂02g13 + 2 g23 g03 g12 ∂03g12 + 2 g23 g03 g12 ∂12g03 - g23 g03 g12 ∂13g02 - g23 g03 g12 ∂23g01 - g23 g03 g13 ∂01g33 + g23 g03 g13 ∂03g13 + g23 g03 g13 ∂13g03 - g23 g03 g13 ∂33g01 - g23 g03 g22 ∂02g23 + g23 g03 g22 ∂03g22 + g23 g03 g22 ∂22g03 - g23 g03 g22 ∂23g02 - g23 g03 g23 ∂02g33 + g23 g03 g23 ∂03g23 + g23 g03 g23 ∂23g03 - g23 g03 g23 ∂33g02 + ½ g23 g11 g22 ∂11g22 - g23 g11 g22 ∂12g12 + ½ g23 g11 g22 ∂22g11 + g23 g11 g23 ∂11g23 - g23 g11 g23 ∂12g13 - g23 g11 g23 ∂13g12 + g23 g11 g23 ∂23g11 + ½ g23 g11 g33 ∂11g33 - g23 g11 g33 ∂13g13 + ½ g23 g11 g33 ∂33g11 - ½ g23 g12 g12 ∂11g22 + g23 g12 g12 ∂12g12 - ½ g23 g12 g12 ∂22g11 - g23 g12 g13 ∂11g23 + g23 g12 g13 ∂12g13 + g23 g12 g13 ∂13g12 - g23 g12 g13 ∂23g11 + g23 g12 g23 ∂12g23 - g23 g12 g23 ∂13g22 - g23 g12 g23 ∂22g13 + g23 g12 g23 ∂23g12 + g23 g12 g33 ∂12g33 - g23 g12 g33 ∂13g23 - g23 g12 g33 ∂23g13 + g23 g12 g33 ∂33g12 - ½ g23 g13 g13 ∂11g33 + g23 g13 g13 ∂13g13 - ½ g23 g13 g13 ∂33g11 - g23 g13 g22 ∂12g23 + g23 g13 g22 ∂13g22 + g23 g13 g22 ∂22g13 - g23 g13 g22 ∂23g12 - g23 g13 g23 ∂12g33 + g23 g13 g23 ∂13g23 + g23 g13 g23 ∂23g13 - g23 g13 g23 ∂33g12 + ½ g23 g22 g33 ∂22g33 - g23 g22 g33 ∂23g23 + ½ g23 g22 g33 ∂33g22 - ½ g23 g23 g23 ∂22g33 + g23 g23 g23 ∂23g23 - ½ g23 g23 g23 ∂33g22 - ½ g00 ∂00g23 + ½ g00 ∂02g03 + ½ g00 ∂03g02 - ½ g00 ∂23g00 - g01 ∂01g23 + ½ g01 ∂02g13 + ½ g01 ∂03g12 + ½ g01 ∂12g03 + ½ g01 ∂13g02 - g01 ∂23g01 - ½ g02 ∂02g23 + ½ g02 ∂03g22 + ½ g02 ∂22g03 - ½ g02 ∂23g02 + ½ g03 ∂02g33 - ½ g03 ∂03g23 - ½ g03 ∂23g03 + ½ g03 ∂33g02 - ½ g11 ∂11g23 + ½ g11 ∂12g13 + ½ g11 ∂13g12 - ½ g11 ∂23g11 - ½ g12 ∂12g23 + ½ g12 ∂13g22 + ½ g12 ∂22g13 - ½ g12 ∂23g12 + ½ g13 ∂12g33 - ½ g13 ∂13g23 - ½ g13 ∂23g13 + ½ g13 ∂33g12 + ½ g23 ∂22g33 - g23 ∂23g23 + ½ g23 ∂33g22
30sameG30 = G03
31sameG31 = G13
32sameG32 = G23
33G33 = ½ g33 g00 g11 ∂00g11 - g33 g00 g11 ∂01g01 + ½ g33 g00 g11 ∂11g00 + g33 g00 g12 ∂00g12 - g33 g00 g12 ∂01g02 - g33 g00 g12 ∂02g01 + g33 g00 g12 ∂12g00 + g33 g00 g13 ∂00g13 - g33 g00 g13 ∂01g03 - g33 g00 g13 ∂03g01 + g33 g00 g13 ∂13g00 + ½ g33 g00 g22 ∂00g22 - g33 g00 g22 ∂02g02 + ½ g33 g00 g22 ∂22g00 + g33 g00 g23 ∂00g23 - g33 g00 g23 ∂02g03 - g33 g00 g23 ∂03g02 + g33 g00 g23 ∂23g00 + ½ g33 g00 g33 ∂00g33 - g33 g00 g33 ∂03g03 + ½ g33 g00 g33 ∂33g00 - ½ g33 g01 g01 ∂00g11 + g33 g01 g01 ∂01g01 - ½ g33 g01 g01 ∂11g00 - g33 g01 g02 ∂00g12 + g33 g01 g02 ∂01g02 + g33 g01 g02 ∂02g01 - g33 g01 g02 ∂12g00 - g33 g01 g03 ∂00g13 + g33 g01 g03 ∂01g03 + g33 g01 g03 ∂03g01 - g33 g01 g03 ∂13g00 + g33 g01 g12 ∂01g12 - g33 g01 g12 ∂02g11 - g33 g01 g12 ∂11g02 + g33 g01 g12 ∂12g01 + g33 g01 g13 ∂01g13 - g33 g01 g13 ∂03g11 - g33 g01 g13 ∂11g03 + g33 g01 g13 ∂13g01 + g33 g01 g22 ∂01g22 - g33 g01 g22 ∂02g12 - g33 g01 g22 ∂12g02 + g33 g01 g22 ∂22g01 + 2 g33 g01 g23 ∂01g23 - g33 g01 g23 ∂02g13 - g33 g01 g23 ∂03g12 - g33 g01 g23 ∂12g03 - g33 g01 g23 ∂13g02 + 2 g33 g01 g23 ∂23g01 + g33 g01 g33 ∂01g33 - g33 g01 g33 ∂03g13 - g33 g01 g33 ∂13g03 + g33 g01 g33 ∂33g01 - ½ g33 g02 g02 ∂00g22 + g33 g02 g02 ∂02g02 - ½ g33 g02 g02 ∂22g00 - g33 g02 g03 ∂00g23 + g33 g02 g03 ∂02g03 + g33 g02 g03 ∂03g02 - g33 g02 g03 ∂23g00 - g33 g02 g11 ∂01g12 + g33 g02 g11 ∂02g11 + g33 g02 g11 ∂11g02 - g33 g02 g11 ∂12g01 - g33 g02 g12 ∂01g22 + g33 g02 g12 ∂02g12 + g33 g02 g12 ∂12g02 - g33 g02 g12 ∂22g01 - g33 g02 g13 ∂01g23 + 2 g33 g02 g13 ∂02g13 - g33 g02 g13 ∂03g12 - g33 g02 g13 ∂12g03 + 2 g33 g02 g13 ∂13g02 - g33 g02 g13 ∂23g01 + g33 g02 g23 ∂02g23 - g33 g02 g23 ∂03g22 - g33 g02 g23 ∂22g03 + g33 g02 g23 ∂23g02 + g33 g02 g33 ∂02g33 - g33 g02 g33 ∂03g23 - g33 g02 g33 ∂23g03 + g33 g02 g33 ∂33g02 - ½ g33 g03 g03 ∂00g33 + g33 g03 g03 ∂03g03 - ½ g33 g03 g03 ∂33g00 - g33 g03 g11 ∂01g13 + g33 g03 g11 ∂03g11 + g33 g03 g11 ∂11g03 - g33 g03 g11 ∂13g01 - g33 g03 g12 ∂01g23 - g33 g03 g12 ∂02g13 + 2 g33 g03 g12 ∂03g12 + 2 g33 g03 g12 ∂12g03 - g33 g03 g12 ∂13g02 - g33 g03 g12 ∂23g01 - g33 g03 g13 ∂01g33 + g33 g03 g13 ∂03g13 + g33 g03 g13 ∂13g03 - g33 g03 g13 ∂33g01 - g33 g03 g22 ∂02g23 + g33 g03 g22 ∂03g22 + g33 g03 g22 ∂22g03 - g33 g03 g22 ∂23g02 - g33 g03 g23 ∂02g33 + g33 g03 g23 ∂03g23 + g33 g03 g23 ∂23g03 - g33 g03 g23 ∂33g02 + ½ g33 g11 g22 ∂11g22 - g33 g11 g22 ∂12g12 + ½ g33 g11 g22 ∂22g11 + g33 g11 g23 ∂11g23 - g33 g11 g23 ∂12g13 - g33 g11 g23 ∂13g12 + g33 g11 g23 ∂23g11 + ½ g33 g11 g33 ∂11g33 - g33 g11 g33 ∂13g13 + ½ g33 g11 g33 ∂33g11 - ½ g33 g12 g12 ∂11g22 + g33 g12 g12 ∂12g12 - ½ g33 g12 g12 ∂22g11 - g33 g12 g13 ∂11g23 + g33 g12 g13 ∂12g13 + g33 g12 g13 ∂13g12 - g33 g12 g13 ∂23g11 + g33 g12 g23 ∂12g23 - g33 g12 g23 ∂13g22 - g33 g12 g23 ∂22g13 + g33 g12 g23 ∂23g12 + g33 g12 g33 ∂12g33 - g33 g12 g33 ∂13g23 - g33 g12 g33 ∂23g13 + g33 g12 g33 ∂33g12 - ½ g33 g13 g13 ∂11g33 + g33 g13 g13 ∂13g13 - ½ g33 g13 g13 ∂33g11 - g33 g13 g22 ∂12g23 + g33 g13 g22 ∂13g22 + g33 g13 g22 ∂22g13 - g33 g13 g22 ∂23g12 - g33 g13 g23 ∂12g33 + g33 g13 g23 ∂13g23 + g33 g13 g23 ∂23g13 - g33 g13 g23 ∂33g12 + ½ g33 g22 g33 ∂22g33 - g33 g22 g33 ∂23g23 + ½ g33 g22 g33 ∂33g22 - ½ g33 g23 g23 ∂22g33 + g33 g23 g23 ∂23g23 - ½ g33 g23 g23 ∂33g22 - ½ g00 ∂00g33 + g00 ∂03g03 - ½ g00 ∂33g00 - g01 ∂01g33 + g01 ∂03g13 + g01 ∂13g03 - g01 ∂33g01 - g02 ∂02g33 + g02 ∂03g23 + g02 ∂23g03 - g02 ∂33g02 - ½ g11 ∂11g33 + g11 ∂13g13 - ½ g11 ∂33g11 - g12 ∂12g33 + g12 ∂13g23 + g12 ∂23g13 - g12 ∂33g12 - ½ g22 ∂22g33 + g22 ∂23g23 - ½ g22 ∂33g22
16 entries - 6 same = 10 independent terms